假設曲面上有一個三角剖分，e=p-l+n ;e稱為尤拉示性數,頂點總個數記為p,邊數記為l,三角形的個數記為n.圓環:p=0,l=1,n=1 所以e=0

對於有限CW-復形(CW-Complex)包括有限單純復形(simplicial complex)，尤拉示性數可以定義為交錯和

其中 表示 維胞腔的個數。

然後，可以把流形的尤拉示性數定義為一個和它同胚的單純復形的尤拉示性數。例如，圓圈和環面其尤拉示性數為0而實心球尤拉示性數為1。

閉可定向曲面的尤拉示性數可以透過它們的虧格 g 來計算

閉不可定向曲面的尤拉示性數可以用下式透過它們的(不可定向)虧格k來計算

尤拉示性數和三角化的選擇無關。公式也可用於到任意多邊形的分解。

對於圓盤，我們有 , 對於平面我們有 , 數的時候把外面作為一個面。

對於閉流形，尤拉示性數和尤拉數,也就是其切叢的在流形的基本類上計算的尤拉類。

對於閉黎曼曲面，尤拉示性數也可以透過曲率的積分得到—參看對於二維情況的高斯-博內定理(Gauss-Bonnet)和對於一般情況的廣義高斯-博內定理。高斯-博內定理的離散情況的對應是笛卡兒定理，它表明多面體用完整圓圈測量的“總虧量” ，是多面體的尤拉示性數；參看虧量。

更一般的，對於所有拓撲空間，我們可以定義第 n 個貝蒂數 作為第 n 個同調群的階。尤拉示性數可以定義為如下交換和

這個定義在貝蒂數全都有限並且在一個特定指標 以外為0時有意義。

兩個同倫的拓撲空間有同構的同調群，所以有相同的尤拉示性數。

從這個定義和龐加萊對偶性，可以得到所有閉合奇數維流形的尤拉數為0的結論。

如果M和N是拓撲空間，則它們的積空間 M × N的尤拉示性數為