尤拉公式：簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係
V+F-E=2
這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。
尤拉，瑞士數學家，13歲進巴塞爾大學讀書，得到著名數學家貝努利的精心指導．尤拉是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他從19歲開始發表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發表了700多篇論文。彼得堡科學院為了整理他的著作，整整用了47年。
尤拉著作驚人的高產並不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，可以使他在任何不良的環境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明後的17年間，也沒有停止對數學的研究，口述了好幾本書和400餘篇的論文。當他寫出了計算天王星軌道的計算要領後離開了人世。尤拉永遠是我們可敬的老師。
尤拉研究論著幾乎涉及到所有數學分支，對物理力學、天文學、彈道學、航海學、建築學、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函式、方程、常數等是以尤拉名字命名的。尤拉寫的數學教材在當時一直被當作標準教程。19世紀偉大的數學家高斯（Gauss，1777-1855）曾說過“研究尤拉的著作永遠是瞭解數學的最好方法”。尤拉還是數學符號發明者，他創設的許多數學符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，∑，f(x)等等，至今沿用。
尤拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創了“圖論”的研究。尤拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數V、稜數E、面數F之間總有關係V+F-E=2，此式稱為尤拉公式。V+F-E即尤拉示性數，已成為“拓撲學”的基礎概念。那麼什麼是“拓撲學”？尤拉是如何發現這個關係的？他是用什麼方法研究的？今天讓我們沿著尤拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態度探索這個公式......
尤拉定理的意義
（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律
（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。
（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，稜數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
（4）提出多面體分類方法：
在尤拉公式中，f(p)=V+F-E叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們，簡單多面體f(p)=2。
除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其尤拉示性數f(p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的尤拉示性數為0。
（5）利用尤拉定理可解決一些實際問題：如：為什麼正多面體只有5種？足球與C60的關係？否有稜數為7的正多面體？等
尤拉定理的證明
方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多面體的稜數，分析V+F-E
先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。
去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數E、稜數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關係，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1
（1）去掉一條稜，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條稜，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條稜。
以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E=2。
對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是隻剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。
方法2：計算多面體各面內角和
設多面體頂點數V，面數F，稜數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和∑α
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：
∑α=[(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2)·180度]
=(n1+n2+…+nF-2F)·180度
=(2E-2F)·180度=(E-F)·360度（1
尤拉公式：簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係
V+F-E=2
這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。
尤拉，瑞士數學家，13歲進巴塞爾大學讀書，得到著名數學家貝努利的精心指導．尤拉是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他從19歲開始發表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發表了700多篇論文。彼得堡科學院為了整理他的著作，整整用了47年。
尤拉著作驚人的高產並不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，可以使他在任何不良的環境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明後的17年間，也沒有停止對數學的研究，口述了好幾本書和400餘篇的論文。當他寫出了計算天王星軌道的計算要領後離開了人世。尤拉永遠是我們可敬的老師。
尤拉研究論著幾乎涉及到所有數學分支，對物理力學、天文學、彈道學、航海學、建築學、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函式、方程、常數等是以尤拉名字命名的。尤拉寫的數學教材在當時一直被當作標準教程。19世紀偉大的數學家高斯（Gauss，1777-1855）曾說過“研究尤拉的著作永遠是瞭解數學的最好方法”。尤拉還是數學符號發明者，他創設的許多數學符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，∑，f(x)等等，至今沿用。
尤拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創了“圖論”的研究。尤拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數V、稜數E、面數F之間總有關係V+F-E=2，此式稱為尤拉公式。V+F-E即尤拉示性數，已成為“拓撲學”的基礎概念。那麼什麼是“拓撲學”？尤拉是如何發現這個關係的？他是用什麼方法研究的？今天讓我們沿著尤拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態度探索這個公式......
尤拉定理的意義
（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律
（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。
（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，稜數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
（4）提出多面體分類方法：
在尤拉公式中，f(p)=V+F-E叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們，簡單多面體f(p)=2。
除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其尤拉示性數f(p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的尤拉示性數為0。
（5）利用尤拉定理可解決一些實際問題：如：為什麼正多面體只有5種？足球與C60的關係？否有稜數為7的正多面體？等
尤拉定理的證明
方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多面體的稜數，分析V+F-E
先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。
去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數E、稜數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關係，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1
（1）去掉一條稜，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條稜，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條稜。
以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E=2。
對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是隻剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。
方法2：計算多面體各面內角和
設多面體頂點數V，面數F，稜數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和∑α
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：
∑α=[(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2)·180度]
=(n1+n2+…+nF-2F)·180度
=(2E-2F)·180度=(E-F)·360度（1