這個問題還是很難的，我一開始覺得x^y+y^x=1的非平庸的實數解應該是有的吧。接下來我將說明一下我思考這個問題的思路與做法，拋磚引玉。

首先，我們來觀察一下這個方程x^y+y^x=1，這個方程顯然具有對稱性，這個方程如果在x-y平面上存在實數解，那麼這個解顯然是關於直線y=x是對稱的。也就是說，如果（a，b）是方程的解，那麼（b，a）也是方程的解。因此，我們希望在x-y平面上找到它的一個解，就可以推到另外一個對稱解的存在。

那麼，因為這個方程比較超越，我只能使用mathematica來做，這個數學軟體中，我敲入瞭如下命令，用來求解這個方程（當然為了方便計算，我先把x與y的定義域侷限在一個小範圍裡）：

ContourPlot[x^y + y^x == 1, {x, -1, 10}, {y, -1, 10}]

我居然得到了這樣一個影象：

從座標上來看，好像從在x軸上，從x大約等於4.5左右開始，存在一條直線，這個時候y=0，我們發現，這些是它的解？

顯然，這些解是平庸的，比如

（4.7，0）確實是方程的解，你可以代進入驗證一下。

問題的關鍵是，為什麼從x大約等於4.5左右開始，存在一條直線的解？我覺得x從任何地方開始，都可以是方程的解啊。

從直覺上來說，（a，0）都是方程的解，因為只要a是實數，那麼a的0次方等於1，而0的a次方都是零，因此它們加起來就等於1。

當然，這些解是平庸的，而非平庸的解好像是不存在的。所謂非平庸的意思是x與y都不等於零的解。

我甚至還畫出了這個函式的三維影象，我引進了一個z座標，當z等於零的時候就回到我們的問題。

三維影象如下：

從這個影象可以看出，z等於負數的時候有一些解（曲面凹進去的地方，對應非平庸解），而z等於零或者大於0的時候，沒有非平庸的解。顯然你提出問題的那個方程確實給出了一個臨界情況。

令x=y，則方程簡化為2x∧x=1，只要證明x∧x=0.5存在實數解，則至少存在一個實數解。實際上y=x∧x的影象如下

在正數軸是沒有解的，但是在負數軸有解。這個具體的解不知道，但是因為函式是連續的，所以必定有實數解滿足方程。

我一眼就看出來了。

1的0次方+0的1次方=1

所以（1，0）就是其中的一組解

x為非0實數，y=0，這就是解啊！

或者掉過來也可以，y為非0實數，x=0。都一樣。

願為解答！

對於函式y＝f（x）,在實數域內，自變數x和因變數y是可以互換的，這樣並不會改變函式的屬性。

對於x^y＋y^x＝1，我們不難看出當x＝y時，方程簡化為2x^x＝1，即x^x＝0.5，該方程是存在解的。

上述解答滿意嗎？

geogebra 作圖 應該是隻有平庸解，看了半天。