分享一種解法。設f(x)=lnx。設An=∫(1,n)lnxdx。∴An=nlnn-n+1①，即x=1、x=n與f(x)=lnx曲線圍成的面積。取f(x)的外切梯形，切點為(i,lni)。將x=1到n分成區間0-1/2、1/2-3/2、5/2-5/2、…、(n-1/2)-(n+1/2)。∴外切梯形的面積Tn=1/8+ln2+…+ln(n-1)+(1/2)lnn=1/8+ln(n!)-(1/2)lnn②。顯然，Tn>An。∴1/8+ln(n!)-(1/2)lnn>nlnn-n+1，即ln(n!)>(n+1/2)lnlnn-n成立。供參考。

不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關係的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性,對它的運用往往能體現出創造性，“放縮法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因此放縮的策略也有很多種，比如：新增或捨棄一些正項（或負項)；先放縮再求和（先求和後放縮； 先放縮，後裂項（或先裂項再放縮）； 放大或縮小“因式”； 逐項放大或縮小；固定一部分項，放縮另外一些項；利用基本不等式放縮；先適當組合, 排序, 再放縮。

但是，放縮法不是萬能的，它只是我們證明不等式方法中的一種，不等式證明常用方法還有:比較法，分析法，綜合法，歸納法，反證法，類比法，放縮法，換元法，判別式法，導數法，幾何法，建構函式法，數軸穿針法等，特別近幾年高考不等式考查的重點是建構函式和求導法去證明，放縮法在2000年到2010年間考查的比較多！