有證據表明平行理論的邏輯發展曾給古代希臘人帶來相當大的麻煩．歐幾里得在把平行線定義為在同一平面上無論向哪個方向延長總不相交的直線及在採用著名的平行公設上遇到困難，薩謝利的著作發表後33年，瑞士的蘭伯特(Johann Heinrich Lanbert，1728—1777)寫了標題為《平行線理論》(Die Theorie der Parallellinien)的類似的研究報告，但是直到他死了也沒有發表．蘭伯特選一個包括三個直角的四邊形(薩謝利的四邊形的一半)作為他的基本圖形，並且依第四個角是銳角，直角或鈍角考慮三個假定．他比薩謝利以銳角和鈍角假定推演命題又大大地跨進了一步．於是他也同薩謝利一樣證明了：在這個假定下，三角形的內角和分別小於、等於或大於兩個直角，此外，還證明：在銳角的假定下小於兩個直角的虧量或在鈍角的假定下大於兩個直角的超出量，與該三角形的面積成比例：他看出了這鈍角的假定匯出的兒何與球面幾何相似，在那裡，三角形的面積與其球面角盈成比例，並且猜想從銳角假定匯出的幾何也許能在虛半徑的球上實現．鈍角的假定可以像薩謝利做過的那樣，以同樣的隱假定來把它否定；但是，關於銳角假定的結論是不明確的，不能令人滿意的．
勒讓德(Adiren-Maire Legendre，1752—1833)，著名的十八世紀法國分析數學家之一，重新開始並考慮：依三角形的內角和是小於、等於或大於兩個直角而定的三個假定．暗中假定直線可無限伸長，也就能否定第三個假定；但是，雖然他做了幾次嘗試，仍未能處理第一個假定，他的《幾何學基本原理》(Elements de geometrie)被廣泛採用，他在此書的相繼版本中發表過多種這類嘗試；從而，他使平行公設問題得到普及．
無疑，從銳角假定出發沒有發現什麼矛盾；因為，我們知道：從包含基本公理組添上銳角假定的一組公理出發推出的幾何，和從同樣的基本組添上直角假定推出的歐氏幾何一樣是相容的；即平行公設獨立於其餘的公設，因而不能從它們匯出．最先猜到這件事的是德國的高斯，匈牙利的鮑耶(Janos Bolyai，1802—1860)和俄國的羅巴切夫斯基(Nicolailvanovitch Lobachevsky，1793—1856)．這些人，從普雷費爾給出的平行公理的陳述出發來考慮三個可能性，那就是：過一給定點能作多於一條(more than one)、僅一條(justone)或沒有(no)直線平行於給定直線．這些情況分別等價於銳角假定、直角假定和鈍角假定．再則，假定直線可無限延長，第三種情況是容易被否定的．這三位數學家的每一位，都猜想在第一種可能情況下能得出相容的幾何，並實現了銳角假定的幾何的和三角的推演．
羅巴切夫斯基在喀山大學度過了大半生，先是當學生，後來當數學教授，最後當校長．他的關於非歐幾何的最早的論文，1829—1830年發表於《喀山學報》(Kasan Bulletin)，比鮑耶發表其著作早兩三年．這份研究報告，在俄國沒有引起多大注意，並且，是用俄文寫的，別處更沒有注意到它．羅巴切夫斯基在做出了此最初努力之後，就考慮再用其它文字發表．例如，為了得到更廣泛的讀者，1840年，他以德文發表題為《關於平行線理論的幾何研究》(Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien)的小冊子；並且，再靠後，在1855年，他死前一年而且已經雙目失明後，更加濃縮地，以法文發表了《泛幾何》(Pangeometrie)．在那些時，新發現的資訊傳遞得很慢：在1840年以德文發表之前，高斯也許沒聽說過羅巴切夫斯基的著作；而J．鮑耶恐怕到1848年才知道．羅巴切夫斯基活著沒有見到他的著作受到廣泛的承認；但是，他發展起來的非歐幾何，今天常被稱做羅巴切夫斯基幾何(Lobachevskian geometry)．
有證據表明平行理論的邏輯發展曾給古代希臘人帶來相當大的麻煩．歐幾里得在把平行線定義為在同一平面上無論向哪個方向延長總不相交的直線及在採用著名的平行公設上遇到困難，薩謝利的著作發表後33年，瑞士的蘭伯特(Johann Heinrich Lanbert，1728—1777)寫了標題為《平行線理論》(Die Theorie der Parallellinien)的類似的研究報告，但是直到他死了也沒有發表．蘭伯特選一個包括三個直角的四邊形(薩謝利的四邊形的一半)作為他的基本圖形，並且依第四個角是銳角，直角或鈍角考慮三個假定．他比薩謝利以銳角和鈍角假定推演命題又大大地跨進了一步．於是他也同薩謝利一樣證明了：在這個假定下，三角形的內角和分別小於、等於或大於兩個直角，此外，還證明：在銳角的假定下小於兩個直角的虧量或在鈍角的假定下大於兩個直角的超出量，與該三角形的面積成比例：他看出了這鈍角的假定匯出的兒何與球面幾何相似，在那裡，三角形的面積與其球面角盈成比例，並且猜想從銳角假定匯出的幾何也許能在虛半徑的球上實現．鈍角的假定可以像薩謝利做過的那樣，以同樣的隱假定來把它否定；但是，關於銳角假定的結論是不明確的，不能令人滿意的．
勒讓德(Adiren-Maire Legendre，1752—1833)，著名的十八世紀法國分析數學家之一，重新開始並考慮：依三角形的內角和是小於、等於或大於兩個直角而定的三個假定．暗中假定直線可無限伸長，也就能否定第三個假定；但是，雖然他做了幾次嘗試，仍未能處理第一個假定，他的《幾何學基本原理》(Elements de geometrie)被廣泛採用，他在此書的相繼版本中發表過多種這類嘗試；從而，他使平行公設問題得到普及．
無疑，從銳角假定出發沒有發現什麼矛盾；因為，我們知道：從包含基本公理組添上銳角假定的一組公理出發推出的幾何，和從同樣的基本組添上直角假定推出的歐氏幾何一樣是相容的；即平行公設獨立於其餘的公設，因而不能從它們匯出．最先猜到這件事的是德國的高斯，匈牙利的鮑耶(Janos Bolyai，1802—1860)和俄國的羅巴切夫斯基(Nicolailvanovitch Lobachevsky，1793—1856)．這些人，從普雷費爾給出的平行公理的陳述出發來考慮三個可能性，那就是：過一給定點能作多於一條(more than one)、僅一條(justone)或沒有(no)直線平行於給定直線．這些情況分別等價於銳角假定、直角假定和鈍角假定．再則，假定直線可無限延長，第三種情況是容易被否定的．這三位數學家的每一位，都猜想在第一種可能情況下能得出相容的幾何，並實現了銳角假定的幾何的和三角的推演．
很可能高斯是最先得到關於銳角假定這一深刻結論的，但是因為他畢生不注意發表其成果，發現這特殊的非歐幾何的榮譽必須與鮑耶和羅巴切夫斯基分享．鮑耶於1832年以他父親的數學著作的附錄的形式發表其研究結果．後又獲悉羅巴切夫斯基比他早在1829—1830年曾發表類似的研究結果，但是，由於語言的障礙和在那時候新發現的訊息傳得遲緩，羅巴切夫斯基的著作在若干年後才被西歐知道．要在這裡討論他們是否從別人那裡得到一定的資訊，沒多大意思，也沒事實根據．那時，卻有相當多人懷疑有剽竊行為．
J．鮑耶[Janos(或Johann)Bolyai]是奧地利軍隊的匈牙利軍官；他是F．鮑耶[Farks(或Wolfgang)Bolyai]的兒子；F．鮑耶是地方上的數學教師，與高斯有長時間的個人友誼．老鮑耶早就對平行公設的研究顯示濃厚的興趣；無疑，小鮑耶受到相當大的激動，早在1823年，J．鮑耶就開始理解在他面前的這個問題的實質，並且，在這年，給他父親寫了一封信，表示出他要從事這項工作的熱情．在這封信中，他顯露出發表一本關於平行線理論的小冊子的決心，希望：把材料整理好後，能儘快地發表，並且，宣稱：“從無到有，我創造了一個奇怪的新宇宙．”其父勸他，把那本準備出的小冊子，作為他自己那部大的、兩卷的半哲學的關於初等數學的著作的附錄發表．思想的擴充套件和整理進行得很慢，小鮑耶沒預料到；但是，1829年他最終向他的父親提交了這份完成的手稿；三年以後，在1832年，這本小冊子作為他父親的著作的第一卷的二十六頁附錄發表．小鮑耶雖然留下了大堆手稿，但從未再發表任何東西．他的主要興趣在於他所說的“絕對的空間科學”；這個，他意指：獨立於平行公設，並且，因而在歐幾里得幾何和這種新幾何中都成立的那些命題的彙集．
羅巴切夫斯基在喀山大學度過了大半生，先是當學生，後來當數學教授，最後當校長．他的關於非歐幾何的最早的論文，1829—1830年發表於《喀山學報》(Kasan Bulletin)，比鮑耶發表其著作早兩三年．這份研究報告，在俄國沒有引起多大注意，並且，是用俄文寫的，別處更沒有注意到它．羅巴切夫斯基在做出了此最初努力之後，就考慮再用其它文字發表．例如，為了得到更廣泛的讀者，1840年，他以德文發表題為《關於平行線理論的幾何研究》(Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien)的小冊子；並且，再靠後，在1855年，他死前一年而且已經雙目失明後，更加濃縮地，以法文發表了《泛幾何》(Pangeometrie)．在那些時，新發現的資訊傳遞得很慢：在1840年以德文發表之前，高斯也許沒聽說過羅巴切夫斯基的著作；而J．鮑耶恐怕到1848年才知道．羅巴切夫斯基活著沒有見到他的著作受到廣泛的承認；但是，他發展起來的非歐幾何，今天常被稱做羅巴切夫斯基幾何(Lobachevskian geometry)．