如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。 正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。 正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。

正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。

行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行點乘自己結果為1。

對於3x3正交矩陣，每行是一個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。

所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個3D座標系裡的三個座標軸，下面是3＊3正交矩陣M，

x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸

單位矩陣表示的三個座標軸就是笛卡爾座標系裡的x，y，z軸：

1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，1，／／z軸

一個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前座標系變換到這個矩陣所表示的座標系裡，比如下面的矩陣M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一個向量（1，2，3）右乘這個矩陣M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原座標系變換到一個新的座標系。

新座標系的x軸在原座標系裡是（0，1，0），即落在原座標系的y軸上，

新座標系就是把原座標系的x和y軸對調，所以這個正交矩陣M1作用於向量（1，2，3）後把向量的x和y分量對調了。

正交矩陣的定義“行向量和列向量皆為正交的單位向量”帶來了另一個好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。

下面解釋一下為什麼正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆：

還是開頭說的正交矩陣M：

x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz

每行都是單位長度向量，所以每行點乘自己的結果為1。

任意兩行正交就是兩行點乘結果為0。

矩陣M的轉置矩陣MT是：

x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，

兩個矩陣相乘Mmul＝M＊MT：

rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，

點乘自己結果為1，點乘別的行結果為0，所以Mmul等於單位矩陣

1，0，0，0，1，0，0，0，1，

逆矩陣的定義就是逆矩陣乘以原矩陣等於單位矩陣，所以，

正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆。

擴充套件資料

正交矩陣定義：

如果：AA＇＝E（E為單位矩陣，A＇表示“矩陣A的轉置矩陣”．）或A′A＝E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣，若A為單位正交陣，則滿足以下條件：1）A是正交矩陣。

判斷是正交矩陣的方法：

一般就是用定義來驗證，若AA" = I,則A為正交矩陣，也就是驗證每一行(或列)向量的模是否為1

任意兩行(或列)的內積是否為0。