複數i它的絕對值是1。在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：z1 + z2=(a+c,b+d)z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何複數z，我們有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)令f是從實數域到複數域的對映，f(a)=(a,0)，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。形如的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且我們將複數中的實數a稱為複數z的實部（real part）記作Rez=a實數b稱為複數z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。複數集是無序集，不能建立大小順序。擴充套件資料加法法則複數的加法法則：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。即乘法法則複數的乘法法則：把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i2= -1，把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。即除法法則複數除法定義：滿足的複數叫複數a+bi除以複數c+di的商。運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，再用乘法法則運算，即開方法則若zn=r(cosθ+isinθ），則（k=0，1，2，3…n-1）運算律加法交換律：z1+z2=z2+z1乘法交換律：z1×z2=z2×z1加法結合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法結合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3i的乘方法則i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（其中n∈Z）
複數i它的絕對值是1。在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：z1 + z2=(a+c,b+d)z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何複數z，我們有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)令f是從實數域到複數域的對映，f(a)=(a,0)，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。形如的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且我們將複數中的實數a稱為複數z的實部（real part）記作Rez=a實數b稱為複數z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。複數集是無序集，不能建立大小順序。擴充套件資料加法法則複數的加法法則：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。即乘法法則複數的乘法法則：把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i2= -1，把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。即除法法則複數除法定義：滿足的複數叫複數a+bi除以複數c+di的商。運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，再用乘法法則運算，即開方法則若zn=r(cosθ+isinθ），則（k=0，1，2，3…n-1）運算律加法交換律：z1+z2=z2+z1乘法交換律：z1×z2=z2×z1加法結合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法結合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3i的乘方法則i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（其中n∈Z）