一般形式為y=f(x)且無法用數字和字母表示出來的函式，一般出現在題目中，或許有定義域、值域等。 補充： 冪函式：f(xy)=f(x)f(y) 正比例函式f(x+y)=f(x)+f(y) 對數函式f(x)+f(y)=f(x)f(y) 三角函式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 指數函式f(x+y)=f(x)f(y) 抽象函式常常與週期函式結合，如： f(x)=-f(x+2) f(x)=f(x+4) 2解抽象函式題，通常要用賦值法，而且高考數學中，常常要先求F（0） F（1） 抽象函式的經典題目！編輯本段解法精選特殊值法 一．特殊值法:在處理選擇題時有意想不到的效果。 例1 定義在R上的函式f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，當x<0時，, f (x)>0，則函式f (x)在[a,b]上 ( ) A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( b) 分析：許多抽象函式是由特殊函式抽象背景而得到的，如正比例函式f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函式 抽象函式 f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= 0 f (x+y)= f (xy) f (x)= 0 f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可採用特殊值函式f (x)= kx(k≠0) ∵當x <0時f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上單調遞減，從而在[a,b]上有最小值f(b)。賦值法 二．賦值法．根據所要證明的或求解的問題使自變數取某些特殊值，從而來解決問題。 例2 除了用剛才的方法外,也可採用賦值法 解:令y = -x，則由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①, 再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。 得 f (x)是一個奇函式，影象關於原點對稱 。 ∵當x <0時，f (x) >0， 即f (x)在R上是一個減函式，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。影象性質解法 三．利用函式的圖象性質來解題： 抽象函式雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。 抽象函式解題時常要用到以下結論： 定理1：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函式y=f(x)的圖象關於x=(a+b)/2 對稱。 定理2：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函式y=f(x)是一個週期函式，週期為a-b。 例4 f(x)是定義在R上的偶函式，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是週期函式。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關於x=1對稱，又f(x)是定義在R上的偶函式，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。 由圖可直觀得T=2,要證其為週期函式，只需證f (x) = f (2 + x)。 證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。 ∴f (x)是一個週期函式。 例5 已知定義在[-2，2]上的偶函式，f (x)在區間[0，2]上單調遞減，若f (1-m)<f (m),求實數m的取值範圍 分析：根據函式的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區間內呢？如果就此討論，將十分複雜，如果注意到偶函式，則f (x)有性質f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大規模討論。 解：∵f (x)是偶函式， f (1-m)<f(m) 可得 ，∴f(x)在[0，2]上是單調遞減的，於是 ，即 化簡得-1≤m< 。編輯本段怎樣學好抽象函式 函式其實在初中的時候就已經講過了，當然那時候是最簡單的一次和二次，而整個高中函式最富有戲劇性的函式實際上也就是二次函式，學好函式總的策略是掌握每一種函式的性質，這樣就可以運用自如，有備無患了。函式的性質一般有單調性、奇偶性、有界性及週期性。能夠完美體現上述性質的函式在中學階段只有三角函式中的正弦函式和餘弦函式。以上是函式的基本性質，透過奇偶性可以衍生出對稱性，這樣就和二次函式聯絡起來了，事實上，二次函式可以和以上所有性質聯絡起來，任何函式都可以，因為這些性質就是在大量的基本函式中抽象出來為了更加形象地描述它們的。我相信這點你定是深有體會。剩下的冪函式、指數函式對數函式等等本身並不複雜，只要抓住其性質，例如對數函式的定義域，指數函式的值域等等，出題人可以大做文章，答題人可以縱橫捭闔暢遊其中。性質是函式最本質的東西，世界的本質就是簡單，複雜只是起外在的表現形式，函式能夠很好到體現這點。另外，高三還要學導數，學好了可以幫助理解以前的東西，學不好還會擾亂人的思路，所以，我建議你去預習，因為預習絕對不會使你落後，我最核心的學習經驗就是預習，這種方法使我的數學遠遠領先其它同學而立於不敗之地。 綜上，在學習函式的過程中，你要抓住其性質，而反饋到學習方法上你就應該預習（有能力的話最好能夠自學） 。函式是高考重點中的重點，也就是高考的命題當中確實含有以函式為綱的思想，怎樣學好函式主要掌握以下幾點。第一，要知道高考考查的六個重點函式，一，指數函式；二，對數函式；三，三角函式；四，二次函式；五，最減分次函式；六，雙勾函式Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函式的性質和圖象，利用這些函式的性質和圖象來解題。另外，要總結函式的解題方法，函式的解題方法主要有三種，第一種方法是基本函式法，就是利用基本函式的性質和圖象來解題；第二種方法是構造輔助函式；第三種方法是函式建模法。要特別突出函式與方程的思想，數形結合思想。 (如果剛開始學抽象函式，只須掌握賦值法.) 高一函式解題思路 1，首先把握定義和題目的敘述 2，記住一次函式與座標軸的交點座標，必須很熟 3，掌握問題的敘述，通法通則是連立方程（當然是有交點的情況） 一般我們解題時 可以先考慮我們學習過的與本題目相似的函式,比如本題可以考慮對數函式,幫助我們解決問題,猜測出結論再做,總要方便一些的
一般形式為y=f(x)且無法用數字和字母表示出來的函式，一般出現在題目中，或許有定義域、值域等。 補充： 冪函式：f(xy)=f(x)f(y) 正比例函式f(x+y)=f(x)+f(y) 對數函式f(x)+f(y)=f(x)f(y) 三角函式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 指數函式f(x+y)=f(x)f(y) 抽象函式常常與週期函式結合，如： f(x)=-f(x+2) f(x)=f(x+4) 2解抽象函式題，通常要用賦值法，而且高考數學中，常常要先求F（0） F（1） 抽象函式的經典題目！編輯本段解法精選特殊值法 一．特殊值法:在處理選擇題時有意想不到的效果。 例1 定義在R上的函式f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，當x<0時，, f (x)>0，則函式f (x)在[a,b]上 ( ) A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( b) 分析：許多抽象函式是由特殊函式抽象背景而得到的，如正比例函式f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函式 抽象函式 f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= 0 f (x+y)= f (xy) f (x)= 0 f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可採用特殊值函式f (x)= kx(k≠0) ∵當x <0時f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上單調遞減，從而在[a,b]上有最小值f(b)。賦值法 二．賦值法．根據所要證明的或求解的問題使自變數取某些特殊值，從而來解決問題。 例2 除了用剛才的方法外,也可採用賦值法 解:令y = -x，則由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①, 再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。 得 f (x)是一個奇函式，影象關於原點對稱 。 ∵當x <0時，f (x) >0， 即f (x)在R上是一個減函式，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。影象性質解法 三．利用函式的圖象性質來解題： 抽象函式雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。 抽象函式解題時常要用到以下結論： 定理1：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函式y=f(x)的圖象關於x=(a+b)/2 對稱。 定理2：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函式y=f(x)是一個週期函式，週期為a-b。 例4 f(x)是定義在R上的偶函式，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是週期函式。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關於x=1對稱，又f(x)是定義在R上的偶函式，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。 由圖可直觀得T=2,要證其為週期函式，只需證f (x) = f (2 + x)。 證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。 ∴f (x)是一個週期函式。 例5 已知定義在[-2，2]上的偶函式，f (x)在區間[0，2]上單調遞減，若f (1-m)<f (m),求實數m的取值範圍 分析：根據函式的定義域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分別在[-2，0]和[0，2]的哪個區間內呢？如果就此討論，將十分複雜，如果注意到偶函式，則f (x)有性質f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大規模討論。 解：∵f (x)是偶函式， f (1-m)<f(m) 可得 ，∴f(x)在[0，2]上是單調遞減的，於是 ，即 化簡得-1≤m< 。編輯本段怎樣學好抽象函式 函式其實在初中的時候就已經講過了，當然那時候是最簡單的一次和二次，而整個高中函式最富有戲劇性的函式實際上也就是二次函式，學好函式總的策略是掌握每一種函式的性質，這樣就可以運用自如，有備無患了。函式的性質一般有單調性、奇偶性、有界性及週期性。能夠完美體現上述性質的函式在中學階段只有三角函式中的正弦函式和餘弦函式。以上是函式的基本性質，透過奇偶性可以衍生出對稱性，這樣就和二次函式聯絡起來了，事實上，二次函式可以和以上所有性質聯絡起來，任何函式都可以，因為這些性質就是在大量的基本函式中抽象出來為了更加形象地描述它們的。我相信這點你定是深有體會。剩下的冪函式、指數函式對數函式等等本身並不複雜，只要抓住其性質，例如對數函式的定義域，指數函式的值域等等，出題人可以大做文章，答題人可以縱橫捭闔暢遊其中。性質是函式最本質的東西，世界的本質就是簡單，複雜只是起外在的表現形式，函式能夠很好到體現這點。另外，高三還要學導數，學好了可以幫助理解以前的東西，學不好還會擾亂人的思路，所以，我建議你去預習，因為預習絕對不會使你落後，我最核心的學習經驗就是預習，這種方法使我的數學遠遠領先其它同學而立於不敗之地。 綜上，在學習函式的過程中，你要抓住其性質，而反饋到學習方法上你就應該預習（有能力的話最好能夠自學） 。函式是高考重點中的重點，也就是高考的命題當中確實含有以函式為綱的思想，怎樣學好函式主要掌握以下幾點。第一，要知道高考考查的六個重點函式，一，指數函式；二，對數函式；三，三角函式；四，二次函式；五，最減分次函式；六，雙勾函式Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函式的性質和圖象，利用這些函式的性質和圖象來解題。另外，要總結函式的解題方法，函式的解題方法主要有三種，第一種方法是基本函式法，就是利用基本函式的性質和圖象來解題；第二種方法是構造輔助函式；第三種方法是函式建模法。要特別突出函式與方程的思想，數形結合思想。 (如果剛開始學抽象函式，只須掌握賦值法.) 高一函式解題思路 1，首先把握定義和題目的敘述 2，記住一次函式與座標軸的交點座標，必須很熟 3，掌握問題的敘述，通法通則是連立方程（當然是有交點的情況） 一般我們解題時 可以先考慮我們學習過的與本題目相似的函式,比如本題可以考慮對數函式,幫助我們解決問題,猜測出結論再做,總要方便一些的