首先，同位角相等兩直線平行並不是公理，而是定理

第二，兩直線平行同位角相等僅在歐式幾何中成立，沒記錯的話這個命題與平行公設是等價的

==========02/06/2019==========

這裡是用歐幾里得公理體系的證明，

公理一共有5條：

1.一點到另外一點可以畫直線

2.線段可以無限延長

3.以任意一點為圓心，任何距離為半徑可以畫圓

4.直角彼此相等（為了與中學數學保持一致，“直角”統稱為90°，同理“兩直角”統稱為180°）

5.同平面內一條直線和另外兩直線相交，若在某一側的兩個內角和小於180°，則兩直線在該側相交（這就是著名的歐幾里得第五公設，也叫平行公設。用中學數學的語言說：同旁內角和小於180°，則兩直線在這一側有交點）

問：直線 l 與 m 平行， 直線 n 與 l 交於點A，與 m交於點B。求證：∠a=∠b

答：

反證法，假設∠a≠∠b，其中∠a為更大的角，即∠a＞∠b

∠c = 180° - ∠a

∠c+∠b = 180° - ∠a + ∠b

∵∠a＞∠b

∴∠c+∠b = 180° - ∠a + ∠b ＜ 180°

根據公理（5），直線l 與 m 在這一側有交點

這是不可能的，因為直線l 與 m 平行

相似可證∠a＜∠b的情況亦不可能

所以，∠a=∠b

Q.E.D.

問：直線 n 與 l 交於點A，與 m交於點B，∠a=∠b。求證：直線 l 與 m 平行

（圖與上一題同）

答：

反證法，假設直線 l 與 m 不平行，假設兩直線交點與∠a和∠b在同一側

∠c = 180° - ∠a

∠c+∠b = 180° - ∠a + ∠b

∵∠a=∠b

∴∠c+∠b = 180° - ∠a + ∠b = 180°

但是，若直線 l 與 m的交點在這一側，根據公理（5），∠c+∠b應小於180°

這是不可能的

相似可證直線l 與m 的交點與∠a和∠b不在同一側的情況亦不可能

所以，直線 l 與 m 平行

Q.E.D.