(a b)三次方=a^3b^3 (a+b)三次方=(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
一元三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫座標平移y=x+s/3,那麼我們就可以把方程的二次項消
去.所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程.
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這裡a和b是待定的引數.
代入方程,我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知,一定可以適當選取a和b,使得在x=a-b的同時,
3ab+p=0.這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
這是一個關於a3的二次方程,所以可以解得a.進而可解出b和根x.
除了求根公式和因式分解外還可以用圖象法解,中值定理.很多高次方程是無法求得精確解的,對於這類方程,可以使用二分法,切線法,求得任意精度的近似解.參見同濟四版的高等數學.
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型.
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式.我歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和.歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方里面的內容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化簡得
（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8）,可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
(a b)三次方=a^3b^3 (a+b)三次方=(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
一元三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫座標平移y=x+s/3,那麼我們就可以把方程的二次項消
去.所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程.
假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這裡a和b是待定的引數.
代入方程,我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知,一定可以適當選取a和b,使得在x=a-b的同時,
3ab+p=0.這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
這是一個關於a3的二次方程,所以可以解得a.進而可解出b和根x.
除了求根公式和因式分解外還可以用圖象法解,中值定理.很多高次方程是無法求得精確解的,對於這類方程,可以使用二分法,切線法,求得任意精度的近似解.參見同濟四版的高等數學.
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型.
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式.我歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和.歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方里面的內容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化簡得
（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8）,可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)