尤拉公式簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係V+F-E=2這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。尤拉定理的意義（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，稜數等不變。定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。（4）提出多面體分類方法：在尤拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其尤拉示性數f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的尤拉示性數為0。尤拉定理的證明方法1：（利用幾何畫板）逐步減少多面體的稜數，分析V+F-E先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數V、稜數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關係，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1（1）去掉一條稜，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條稜，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條稜。以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是隻剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。 方法2：計算多面體各面內角和設多面體頂點數V，面數F，稜數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和Σα一方面，在原圖中利用各面求內角總和。 設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：Σα = [(n1-2)・1800+(n2-2)・1800 +…+(nF-2) ・1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ・1800=(2E-2F) ・1800 = (E-F) ・3600 （1）另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)・1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)・3600，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)・1800。所以，多面體各面的內角總和：Σα=(V-n)・3600+(n-2)・1800+(n-2)・1800 =（V-2）・3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ・3600 =（V-2）・3600 所以 V+F-E=2. 尤拉定理的運用方法（1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 當r=3時值為a+b+c （2）複數 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設v為頂點數，e為稜數，f是面數，則 v-e+f=2-2pp為尤拉示性數，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有：V+Ar-B=1(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 尤拉定理在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。其實尤拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。使用尤拉定理計算足球五邊形和六邊形數問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？答：足球是多面體，滿足尤拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,稜,頂點的個數設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那麼面數F＝x＋y稜數E＝(5x+6y)/2（每條稜由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）頂點數V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）由尤拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12所以共有12塊黑皮子所以，黑皮子一共有12×5＝60條稜，這60條稜都是與白皮子縫合在一起的對於白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那麼白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20所以共有20塊白皮子 經濟學中的“尤拉定理”在西方經濟學裡，產量和生產要素L、K的關係表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函式形式是一次齊次的，那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配淨盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函式形式。 因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為“產品分配淨盡定理”，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學尤拉定理，所以稱為尤拉定理。【同餘理論中的"尤拉定理"】設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的簡繫個數)尤拉公式在數學歷史上有很多公式都是尤拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發現的，它們都叫做尤拉公式，它們分散在各個數學分支之中。 1、複變函式論裡的尤拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。將公式裡的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數學聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。2、拓撲學裡的尤拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的稜的條數,X(P)是多面體P的尤拉示性數。如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓撲不變數，是拓撲學研究的範圍。3、初等數論裡的尤拉公式：尤拉φ函式：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。尤拉證明了下面這個式子：如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以證明它。
尤拉公式簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係V+F-E=2這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。尤拉定理的意義（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，稜數等不變。定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。（4）提出多面體分類方法：在尤拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其尤拉示性數f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的尤拉示性數為0。尤拉定理的證明方法1：（利用幾何畫板）逐步減少多面體的稜數，分析V+F-E先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數V、稜數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關係，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1（1）去掉一條稜，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條稜，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條稜。以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是隻剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。 方法2：計算多面體各面內角和設多面體頂點數V，面數F，稜數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和Σα一方面，在原圖中利用各面求內角總和。 設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：Σα = [(n1-2)・1800+(n2-2)・1800 +…+(nF-2) ・1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ・1800=(2E-2F) ・1800 = (E-F) ・3600 （1）另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)・1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)・3600，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)・1800。所以，多面體各面的內角總和：Σα=(V-n)・3600+(n-2)・1800+(n-2)・1800 =（V-2）・3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ・3600 =（V-2）・3600 所以 V+F-E=2. 尤拉定理的運用方法（1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 當r=3時值為a+b+c （2）複數 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設v為頂點數，e為稜數，f是面數，則 v-e+f=2-2pp為尤拉示性數，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有：V+Ar-B=1(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 尤拉定理在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。其實尤拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。使用尤拉定理計算足球五邊形和六邊形數問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？答：足球是多面體，滿足尤拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,稜,頂點的個數設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那麼面數F＝x＋y稜數E＝(5x+6y)/2（每條稜由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）頂點數V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）由尤拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12所以共有12塊黑皮子所以，黑皮子一共有12×5＝60條稜，這60條稜都是與白皮子縫合在一起的對於白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那麼白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20所以共有20塊白皮子 經濟學中的“尤拉定理”在西方經濟學裡，產量和生產要素L、K的關係表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函式形式是一次齊次的，那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配淨盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函式形式。 因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為“產品分配淨盡定理”，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學尤拉定理，所以稱為尤拉定理。【同餘理論中的"尤拉定理"】設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的簡繫個數)尤拉公式在數學歷史上有很多公式都是尤拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發現的，它們都叫做尤拉公式，它們分散在各個數學分支之中。 1、複變函式論裡的尤拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。將公式裡的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數學聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。2、拓撲學裡的尤拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的稜的條數,X(P)是多面體P的尤拉示性數。如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓撲不變數，是拓撲學研究的範圍。3、初等數論裡的尤拉公式：尤拉φ函式：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。尤拉證明了下面這個式子：如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以證明它。