無理數相對於有理數(即我們從幼兒園到小學接觸到的十進位制整數、小數、分數)而言，它沒有“道理”，即不符合有理數的屬性，不能寫成兩個整數之比，其數學本質只能為無限不迴圈小數。它是在有理數運演算法則高度發展後，使數學大廈發生質變時必然產生的。常見的無理數有開方開不盡的數(如√2、√3)、超越數π和e等。然而，要想徹底弄清楚無理數的內涵和外延，必須從數學的本質及主要發展過程說起。
圓周率π
數學不僅研究現實的物質世界的空間形式和數量關係，還應研究精神世界的空間形式和數量關係，如關於人或動物的情緒、情感、意識等精神現象的數學模型。舉兩個簡單的例子，如：我感到無限快樂！描述“無限快樂程度”的數學工具只能是無限小數，如果其快樂程度還會持續加深，反映該變化過程時，只能用高等數學裡的無窮大(無窮大量)。又如，這個人幾乎沒有缺點！描述這類接近完美的人的性格的數字特徵的工具只能是大於0小於“一個比1小得多的數”的一個無限小數，如果其性格仍在持續改善，該變化過程只能用高等數學裡的無窮小(無窮小量)去描述。所以，數學科學只能是關於物質和精神世界的相對精確的數形哲學(如:在自然數範圍內，1加1只能等於2，該運演算法則即為一種數字運算哲學；又如，在歐氏幾何裡，三角形的內角和只能等於180度，該定理即為一種關於幾何圖形形狀的度量哲學)！這也能解釋為什麼世界著名火箭專家、中國航天之父錢學森提出了“把數學從自然科學的桎梏中解放出來，改稱數學科學，使之與傳統的自然科學和社會科學並駕齊驅”的一大構想。
值得慶幸的是，早在數學發展到無限迴圈小數(迴圈節不為0)時，數學家們就已經不知不覺地開始涉足精神世界了，只是沒有意識到精神現象在數學領域的重要性而沒有建立相應理論而已！因為:就算拿最簡單的無限迴圈小數0.333333……(3迴圈)，即1/3來說，它的數形哲學(或數學科學)意義是表示將一個被選取物件分成三個均勻而相等的子物件，取其中一個子物件，即小學數學上常說的“把單位‘1’平均分成3份，表示這樣的1份的數”。然而，在現實世界裡，根本不存在這樣的一個子物件！打個很簡單的比方，這好比我準備把1元錢平均分給3個小孩，顯然，根本就辦不到！在現實中，往往是其中的兩人都得到3角3分，而另一個只能得到3角4分！可見，無限迴圈小數只能在我們的頭腦中生成，在現實中根本不存在！但哲學家黑格爾說了一句流傳至今的名言:“凡是合乎理性的東西都是現實的，凡是現實的東西都是合乎理性的。”因此，無限迴圈小數(本質上是一種分數)也有它存在的價值，它至少在近似地描述現實世界的數量關係時，會帶來極大的方便，且精度可任意調整，直到較滿意為止。比如，在該比方中，為了確保分配更均勻些，我可以讓其中的倆小孩都得到3角3分3釐錢，與另一個小孩得到的3角3分4釐錢相比，相差就較小了。這個比方還能說明:在現實中，總存在絕對不公平的事！對於這類事情，只能是相對公平！即與預期相比，偏差不大。且它還有一大優點:書寫和計算方便。比如:該例中的1/3 ，就比寫成0.333333……或0.33、0.333等小數省事多了，且計算也方便了許多，也提高了運算效率。
在這之後，人們在關於自然數的開方運算中發現:有無數個無限不迴圈小數陸續出現，數學又發展到了無理數階段。比如在研究圓周率π的過程中，人們透過計算，發現圓的周長與直徑的比值是一個固定值，且是無限不迴圈小數，又如，對於最簡單的開方開不盡的數√2，人們也是在求解諸如x^2=2的方程的過程中，發現了這個解也是一個無限不迴圈小數。然而，人們在研究無理數的過程中，透過把適用於有限數(整數，有限小數)的運演算法則(加減乘除、乘方，開方等)硬套在一切實數的範圍內，因而出現了後來的不斷變化下去的無限迴圈和不迴圈小數！無形中混淆了朝著給定的任意大的正數或0無限趨近的變數與現實世界的物體的具體的、有限的各種常量的概念！即一個具體的常數怎麼可能是變化過程或變化趨勢呢？？？所有的數字只能是有限的數！所以，無理數只能在我們的頭腦中生成，它和無限迴圈小數一樣，在現實中根本不存在！這也能解釋為什麼古希臘數學家畢達哥拉斯堅決不承認無理數的存在！也能解釋為什麼德國著名物理學家普朗克較精確地算出了長度量子(最小的長度值)，即普朗克長度，約為1.6×10^-35米，這遠遠小於原子核的尺寸，他還認為測量比這個長度值更小的數值是沒有任何意義的！(詳見我在回答問題“物質是無限可分的嗎？”時已給出了詳細而通俗的證明過程，有興趣的朋友可去看看)這說明我們的空間存在最小尺度，並不是無限變化下去的無限小數！還能解釋為什麼在現代科學研究中，使用的無理數π的近似值時，在最精確計算的時候僅需用到小數點後面的十幾位！當然，如同前面所說的，這一系列用部分規律取代整體規律後生成的異類數(也可定義為精神數)，也有它存在的合理性，它們至少在近似地描述現實世界的數量關係時，會帶來極大的方便，且精度可任意調整，直到較滿意為止。所以在以這兩個典型的例子中，在現實世界裡，僅需取π或√2的近似值。至於應用到這些精神數的物質世界裡的真實數值是多少，有待於測量技術的進一步發展。
同理，複數(形如Z=a+bi， a,b均為實數，ⅰ^2=-1的數)裡的虛數單位ⅰ在現實世界中也不存在，且當其虛部b≠0時，它一定是精神數！但將ⅰ與複數平面裡的虛軸對應後，則表示該軸上的一個單位長度，其中，每一個複數都和該平面裡的一個點(a，b)對應，且對應一個起點為原點，終點座標為(a，b)的向量，即可以表示成座標平面裡向量，所以它遵循向量的一些運演算法則(如向量的加減法、數乘向量)，它在物理學(如電磁學)等自然科學和其它工程技術上也有著廣泛的應用。
複數的向量表示
值得注意的是，根據狹義相對論的光速不變原理可知，光速在真空中對於不同的慣性系都是相同的，所以，對於我們司空見慣的時間，可以用處於某一真空慣性系的光的傳播距離來重新定義！根據作勻速直線運動的物體的位移時間公式s=vt(s表示物體的位移向量，v表示物體的速度向量)可知，在該環境裡的任意一束光的傳播時間t=s/c(s在這裡表示光的傳播位移的大小，即傳播距離，c表示光在該真空環境中的速度，即c=299792458米/秒)，這個簡單的公式卻蘊藏著極為深刻的哲理，即:我們習以為常的時間，其本質上就是這類環境下的任何光所傳播的距離！因為當該光線每走完一段大小等於c的距離時，其對應的時間就是每1秒！因此，可以說，時間的本質就是在這類真空環境下的光(或構成光的每個光子)走過的路程！即時間的本質就是空間！當然，由於光速大小是一堆大數字，用c乘以某個常數來以表示具體的時間長短會給我們的生活、學習或科研計算造成諸多不便，因而，現有的時間定義僅僅是為了簡化數目，圖個方便，它仍有其存在的意義。因此，更嚴格地說，數學科學研究的廣義空間裡還應包括時間！
相對論的創立者愛因斯坦
總之，數學科學作為一門相當龐大的學科，數學家們的任務不比物理學、化學、生物學等自然科學家輕鬆，甚至更艱鉅，除了要去解決一系列懸而未決的數學難題(歌德巴赫猜想、黎曼猜想、楊-米爾斯存在性和質量缺口等)外，還得向精神世界進軍，建立一整套精神數學理論體系，從而，為全人類的幸福生活奠定最堅實的精神基礎！
無理數相對於有理數(即我們從幼兒園到小學接觸到的十進位制整數、小數、分數)而言，它沒有“道理”，即不符合有理數的屬性，不能寫成兩個整數之比，其數學本質只能為無限不迴圈小數。它是在有理數運演算法則高度發展後，使數學大廈發生質變時必然產生的。常見的無理數有開方開不盡的數(如√2、√3)、超越數π和e等。然而，要想徹底弄清楚無理數的內涵和外延，必須從數學的本質及主要發展過程說起。
圓周率π
數學不僅研究現實的物質世界的空間形式和數量關係，還應研究精神世界的空間形式和數量關係，如關於人或動物的情緒、情感、意識等精神現象的數學模型。舉兩個簡單的例子，如：我感到無限快樂！描述“無限快樂程度”的數學工具只能是無限小數，如果其快樂程度還會持續加深，反映該變化過程時，只能用高等數學裡的無窮大(無窮大量)。又如，這個人幾乎沒有缺點！描述這類接近完美的人的性格的數字特徵的工具只能是大於0小於“一個比1小得多的數”的一個無限小數，如果其性格仍在持續改善，該變化過程只能用高等數學裡的無窮小(無窮小量)去描述。所以，數學科學只能是關於物質和精神世界的相對精確的數形哲學(如:在自然數範圍內，1加1只能等於2，該運演算法則即為一種數字運算哲學；又如，在歐氏幾何裡，三角形的內角和只能等於180度，該定理即為一種關於幾何圖形形狀的度量哲學)！這也能解釋為什麼世界著名火箭專家、中國航天之父錢學森提出了“把數學從自然科學的桎梏中解放出來，改稱數學科學，使之與傳統的自然科學和社會科學並駕齊驅”的一大構想。
值得慶幸的是，早在數學發展到無限迴圈小數(迴圈節不為0)時，數學家們就已經不知不覺地開始涉足精神世界了，只是沒有意識到精神現象在數學領域的重要性而沒有建立相應理論而已！因為:就算拿最簡單的無限迴圈小數0.333333……(3迴圈)，即1/3來說，它的數形哲學(或數學科學)意義是表示將一個被選取物件分成三個均勻而相等的子物件，取其中一個子物件，即小學數學上常說的“把單位‘1’平均分成3份，表示這樣的1份的數”。然而，在現實世界裡，根本不存在這樣的一個子物件！打個很簡單的比方，這好比我準備把1元錢平均分給3個小孩，顯然，根本就辦不到！在現實中，往往是其中的兩人都得到3角3分，而另一個只能得到3角4分！可見，無限迴圈小數只能在我們的頭腦中生成，在現實中根本不存在！但哲學家黑格爾說了一句流傳至今的名言:“凡是合乎理性的東西都是現實的，凡是現實的東西都是合乎理性的。”因此，無限迴圈小數(本質上是一種分數)也有它存在的價值，它至少在近似地描述現實世界的數量關係時，會帶來極大的方便，且精度可任意調整，直到較滿意為止。比如，在該比方中，為了確保分配更均勻些，我可以讓其中的倆小孩都得到3角3分3釐錢，與另一個小孩得到的3角3分4釐錢相比，相差就較小了。這個比方還能說明:在現實中，總存在絕對不公平的事！對於這類事情，只能是相對公平！即與預期相比，偏差不大。且它還有一大優點:書寫和計算方便。比如:該例中的1/3 ，就比寫成0.333333……或0.33、0.333等小數省事多了，且計算也方便了許多，也提高了運算效率。
在這之後，人們在關於自然數的開方運算中發現:有無數個無限不迴圈小數陸續出現，數學又發展到了無理數階段。比如在研究圓周率π的過程中，人們透過計算，發現圓的周長與直徑的比值是一個固定值，且是無限不迴圈小數，又如，對於最簡單的開方開不盡的數√2，人們也是在求解諸如x^2=2的方程的過程中，發現了這個解也是一個無限不迴圈小數。然而，人們在研究無理數的過程中，透過把適用於有限數(整數，有限小數)的運演算法則(加減乘除、乘方，開方等)硬套在一切實數的範圍內，因而出現了後來的不斷變化下去的無限迴圈和不迴圈小數！無形中混淆了朝著給定的任意大的正數或0無限趨近的變數與現實世界的物體的具體的、有限的各種常量的概念！即一個具體的常數怎麼可能是變化過程或變化趨勢呢？？？所有的數字只能是有限的數！所以，無理數只能在我們的頭腦中生成，它和無限迴圈小數一樣，在現實中根本不存在！這也能解釋為什麼古希臘數學家畢達哥拉斯堅決不承認無理數的存在！也能解釋為什麼德國著名物理學家普朗克較精確地算出了長度量子(最小的長度值)，即普朗克長度，約為1.6×10^-35米，這遠遠小於原子核的尺寸，他還認為測量比這個長度值更小的數值是沒有任何意義的！(詳見我在回答問題“物質是無限可分的嗎？”時已給出了詳細而通俗的證明過程，有興趣的朋友可去看看)這說明我們的空間存在最小尺度，並不是無限變化下去的無限小數！還能解釋為什麼在現代科學研究中，使用的無理數π的近似值時，在最精確計算的時候僅需用到小數點後面的十幾位！當然，如同前面所說的，這一系列用部分規律取代整體規律後生成的異類數(也可定義為精神數)，也有它存在的合理性，它們至少在近似地描述現實世界的數量關係時，會帶來極大的方便，且精度可任意調整，直到較滿意為止。所以在以這兩個典型的例子中，在現實世界裡，僅需取π或√2的近似值。至於應用到這些精神數的物質世界裡的真實數值是多少，有待於測量技術的進一步發展。
同理，複數(形如Z=a+bi， a,b均為實數，ⅰ^2=-1的數)裡的虛數單位ⅰ在現實世界中也不存在，且當其虛部b≠0時，它一定是精神數！但將ⅰ與複數平面裡的虛軸對應後，則表示該軸上的一個單位長度，其中，每一個複數都和該平面裡的一個點(a，b)對應，且對應一個起點為原點，終點座標為(a，b)的向量，即可以表示成座標平面裡向量，所以它遵循向量的一些運演算法則(如向量的加減法、數乘向量)，它在物理學(如電磁學)等自然科學和其它工程技術上也有著廣泛的應用。
複數的向量表示
值得注意的是，根據狹義相對論的光速不變原理可知，光速在真空中對於不同的慣性系都是相同的，所以，對於我們司空見慣的時間，可以用處於某一真空慣性系的光的傳播距離來重新定義！根據作勻速直線運動的物體的位移時間公式s=vt(s表示物體的位移向量，v表示物體的速度向量)可知，在該環境裡的任意一束光的傳播時間t=s/c(s在這裡表示光的傳播位移的大小，即傳播距離，c表示光在該真空環境中的速度，即c=299792458米/秒)，這個簡單的公式卻蘊藏著極為深刻的哲理，即:我們習以為常的時間，其本質上就是這類環境下的任何光所傳播的距離！因為當該光線每走完一段大小等於c的距離時，其對應的時間就是每1秒！因此，可以說，時間的本質就是在這類真空環境下的光(或構成光的每個光子)走過的路程！即時間的本質就是空間！當然，由於光速大小是一堆大數字，用c乘以某個常數來以表示具體的時間長短會給我們的生活、學習或科研計算造成諸多不便，因而，現有的時間定義僅僅是為了簡化數目，圖個方便，它仍有其存在的意義。因此，更嚴格地說，數學科學研究的廣義空間裡還應包括時間！
相對論的創立者愛因斯坦
總之，數學科學作為一門相當龐大的學科，數學家們的任務不比物理學、化學、生物學等自然科學家輕鬆，甚至更艱鉅，除了要去解決一系列懸而未決的數學難題(歌德巴赫猜想、黎曼猜想、楊-米爾斯存在性和質量缺口等)外，還得向精神世界進軍，建立一整套精神數學理論體系，從而，為全人類的幸福生活奠定最堅實的精神基礎！