非齊次方程的求解步驟:

首先對增廣矩陣進行初等變換化成階梯型矩陣，包括齊次的也是一樣，然後在係數矩陣中獲得一組基礎解析，求非齊次方程的一個特解，為了簡便計算需要讓所有的自由變數的取值等於0，剩下的按照解的結構寫出通解。

例如，線性非齊次線性方程2x1-2x2+x3-x4+x5=1,x1+2x2-x3+x4-2x5=1,4x1-10x2+5x3-5x4+7x5=1，2x1-14x2+7x3-7x4+11x5=-1。首先需要對非齊次進行化簡可以化簡成E也可以是階梯型矩陣。化簡成E其實是減少計算量的。

對其進行初等變換得到矩陣是第一行為（1,0,0,0，負3分之1，3分之2），第二行的為（0,1，負2分之一，2分之1，負6分之5,6分之1）那麼特解直接書寫常數項向量的數值並且使得x3,x4,x5為自由變數為0，那麼特解為（3分之2，6分之1,0，0,0）

基礎解析，設X3,X4,X5是自由變數那麼假設分別為1其餘的為0進行求解得到基礎解析，這裡是跟非齊次的特解有區別。得到基礎解析為（0,1,2,0,0）,(0,-1,0,1,0),(2,5,0,6),那麼方程組的通解是特解加上ka1+k2a2+k3a3其中K為任意的常數。

常數項不全為零的線性方程組稱為非齊次線性方程組。

非齊次線性方程組的表示式為：Ax=b

非齊次線性方程組Ax=b的求解步驟：

（1）對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形。若R(A)<R(B)，則方程組無解。

（2）若R(A)=R(B)，則進一步將B化為行最簡形。

（3）設R(A)=R(B)=r；把行最簡形中r個非零行的非0首元所對應的未知數用其餘n-r個未知數（自由未知數）表示，並令自由未知數分別等於

，即可寫出含n-r個引數的通解。