銳角三角形的情形可以用代數的方法來做，假設該三角形的外接圓半徑為R，由正弦定理知：所以：而,問題等價於要證明: (1) (2)我們有： (3)這一步放縮是我們先將\gamma 固定，並且不妨認為\alpha比\beta大，那麼\cos(\alpha-\beta)要小的話就是兩者的差要大，極限情況就是讓\alpha=\pi/4，那麼此時\beta=\pi/4-\gamma，這就是上式放縮的由來，而由於是極限情況，所以等號取不到。remark：關於這個放縮還可以這麼看，我們有：假設,可以證明,因為如若不然，,將這兩式相加，即有：這與\alpha的限制矛盾，所以有(3)式即：最後一式顯然，因為\gamma小於\pi/4而直角和鈍角三角形的情況是容易的，只要以最長邊的中點畫圓即可，因為剩下的一個頂點到該中點的距離在直角三角形的情形下是等於最長邊的一半，而鈍角是小於，這隻要用到大角對大邊就好，再加上最長邊小於1，就得證了。update:剛在準備給學生上課的材料時猛然發現其實用Jensen不等式也可以做。。。如下：在銳角三角形的情形下估計：對於f(x)=sinx,它在(0,\pi/2)上是嚴格上凸函式，即函式影象是落在直線y=2x/pi之上的，所以由Jensen不等式：所以：

AB/AD=sinBDC=sinC（直徑對應直角，同一弦長對應的角度相同）即sinC/AB=2*R同理sinB/AC=2*R鈍角A的證明，則用角E來計算，對角和是180°，正弦值應該一致sinA/BC=sinE/BC=2*R則sinA/BC=sinB/AC=sinC/AB=2*R完畢