一、數的發展簡史
數是各種具體的量的抽象．從歷史上看,人類對於數的認識,大體上是按照以下的邏輯順序進行的:
自然數(添正分數)-→正有理數(添零)-→非負有理數(添負數)
-→有理數(添無理數)-→實數(添虛數)-→複數
自然數的產生，起源於人類在生產和生活中計數的需要．開始只有很少幾個自然數，後來隨著生產力的發展和記數方法的改進，逐步認識越來越多的自然數．這個過程大致可以分為三個階段．在第一階段，物體集合的性質，是由物體間的直接比較確定的．中國古代傳說的結繩記數便屬於這一階段.在第二階段,出現了數詞，如三頭牛、五隻羊等等．這時，還沒能把單個的數從具體物體的集合中分離出來．在第三階段，認識到每一個單個的數,是物體集合的一種性質，把數從具體物體的集合中分離出來，形成了抽象的自然數(正整數)概念，並有了代表它的符號．從某種意義上說，幼兒認識自然數的過程，就是人類祖先認識自然數的過程的再現．
隨著生產的發展，在土地測量、天文觀測、土木建築、水利工程等活動中，都需要進行測量．在測量過程中，常常會發生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產生自然數不夠用的矛盾．這樣，正分數就應運而生．據數學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經記有關於正分數的問題．引進正分數,這是數的概念的第一次擴充套件．
最初人們在記數時，沒有“零” 的概念．後來，在生產實踐中,需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產生了位值制記數法．有了這種記數法，零的產生就不可避免的了．中國古代籌算中，利用 “空位”表示零.公元6世紀，印度數學家開始用符號“0”表示零. 但是，把“0”作為一個數是很遲的事．引進數0，這是數的概念的第二次擴充．
以後,為了表示具有相反意義的量,負數概念就出現了．中國是認識正、負數最早的國家，《九章算術》中就有了正、負數的記載．在歐洲，直到17世紀才對負數有一個完整的認識．引進負數，這是數的概念的第三次擴充．
數的概念的又一次擴充淵源於古希臘。公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯(Pythagqras，約公元前580～前500)學派發現了單位正方形的邊長與對角線是不可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數值，導致了無理數的產生．當時只是用幾何的形象來說明無理數的存在，至於嚴格的實數理論，直到19世紀70年代才建立起來．引進無理數，形成實數系，這是數的概念的第四次擴充．
數的概念的再一次擴充，是為了解決數學自身的矛盾．16世紀前半葉，義大利數學家塔爾塔利亞發現了三次方程的求根公式，膽地引用了負數開平方的運算，得到了正確答案．由此，虛數作為一種合乎邏輯的假設得以引進，並在進一步的發展中加以運用,成功地經受了理論和實踐的檢驗，最後於18世紀末至19世紀初確立了虛數在數學中的地位．引進虛數，形成複數系，這是數的概念的第五次擴充．
上面,我們簡要地回顧了數的發展過程．必須指出，數的概念的產生，實際上是交錯進行的．例如，在人們還沒有完全認識負數之前，早就知道了無理數的存在；在實數理論還未完全建立之前,經運用虛數解三次方程了．
直到19世紀初，從自然數到複數的理論基礎，並未被認真考慮過．後來，由於數學嚴密性的需要以及公理化傾向的影響，促使人們開始認真研究整個數系的邏輯結構．從19世紀中葉起，經過皮亞諾(G．Peano，1855～1939)、康托爾(G．Cantor，1845～1918)、戴德金(R．Dedekind，1831～1916)、外爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等數學家的努力，完成了建立整個數系的邏輯工作．
近代數學關於數的理論，是在總結數的歷史發展的基礎上，用代數結構的觀點和比較嚴格的公理系統加以整理而建立起來的.作為數的理論系統的基礎，首先要建立自然數系，然後逐步加以擴充套件．一般採用的擴充套件過程是
N--------→Z--------→Q--------→R--------→C
(自然數集) (整數集) (有理數集) (實數集) (複數集)
科學的數集擴充，通常採用兩種方法：一是新增元素法，即把新元素新增到已建立的數集中去；二是構造法,即從理論上構造一個集合，然後指出這個集合的某個真子集與先前的數集是同構的．
中、小學數學教學中，為了適應學生的年齡特徵和接受能力,關於數系的擴充，主要是滲透近代數學觀點，採用新增元素並強調運算的方法來進行的．其擴充過程是:
自然數集(添零)→擴大的自然數集(添正分數)→算術數集(添負有理數)
→有理數集(添無理數)→實數集(添虛數)→複數集
數系的每一次擴充，都解決了一定的矛盾，從而擴大了數的應用範圍．但是，數系的每一次擴充也會失去某些性質．例如，從自然數系 N 擴充到整數系 Z 後，Z 對減法具有封閉性，但失去N 的良序性質，即N 中任何非空子集都有最小元素．又如，由實數系R 擴充到複數系C 後，C 是代數閉域，即任何代數方程必有根,但失去了R的順序性，C 中元素已無大小可言．
數系擴充到複數系後，能否繼續擴充?這個問題的答案是有條件的．如果要求完全滿足複數系的全部運算性質,那麼任何擴充都是難以成功的．如果放棄某些要求，那麼進一步的擴充是可能的．比如，放棄乘法交換律，複數系C可以擴充為四元數系H,如果再適當改變對乘法結合律的要求，四元數系H 又可擴充為八元數系Ca 等等．當然,在現代數學中，通常總是把“數”理解為複數或實數，只有在個別情況，經特別指出，才用到四元數．至於八元數的使用就更罕見了．
一、數的發展簡史
數是各種具體的量的抽象．從歷史上看,人類對於數的認識,大體上是按照以下的邏輯順序進行的:
自然數(添正分數)-→正有理數(添零)-→非負有理數(添負數)
-→有理數(添無理數)-→實數(添虛數)-→複數
自然數的產生，起源於人類在生產和生活中計數的需要．開始只有很少幾個自然數，後來隨著生產力的發展和記數方法的改進，逐步認識越來越多的自然數．這個過程大致可以分為三個階段．在第一階段，物體集合的性質，是由物體間的直接比較確定的．中國古代傳說的結繩記數便屬於這一階段.在第二階段,出現了數詞，如三頭牛、五隻羊等等．這時，還沒能把單個的數從具體物體的集合中分離出來．在第三階段，認識到每一個單個的數,是物體集合的一種性質，把數從具體物體的集合中分離出來，形成了抽象的自然數(正整數)概念，並有了代表它的符號．從某種意義上說，幼兒認識自然數的過程，就是人類祖先認識自然數的過程的再現．
隨著生產的發展，在土地測量、天文觀測、土木建築、水利工程等活動中，都需要進行測量．在測量過程中，常常會發生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產生自然數不夠用的矛盾．這樣，正分數就應運而生．據數學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經記有關於正分數的問題．引進正分數,這是數的概念的第一次擴充套件．
最初人們在記數時，沒有“零” 的概念．後來，在生產實踐中,需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產生了位值制記數法．有了這種記數法，零的產生就不可避免的了．中國古代籌算中，利用 “空位”表示零.公元6世紀，印度數學家開始用符號“0”表示零. 但是，把“0”作為一個數是很遲的事．引進數0，這是數的概念的第二次擴充．
以後,為了表示具有相反意義的量,負數概念就出現了．中國是認識正、負數最早的國家，《九章算術》中就有了正、負數的記載．在歐洲，直到17世紀才對負數有一個完整的認識．引進負數，這是數的概念的第三次擴充．
數的概念的又一次擴充淵源於古希臘。公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯(Pythagqras，約公元前580～前500)學派發現了單位正方形的邊長與對角線是不可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數值，導致了無理數的產生．當時只是用幾何的形象來說明無理數的存在，至於嚴格的實數理論，直到19世紀70年代才建立起來．引進無理數，形成實數系，這是數的概念的第四次擴充．
數的概念的再一次擴充，是為了解決數學自身的矛盾．16世紀前半葉，義大利數學家塔爾塔利亞發現了三次方程的求根公式，膽地引用了負數開平方的運算，得到了正確答案．由此，虛數作為一種合乎邏輯的假設得以引進，並在進一步的發展中加以運用,成功地經受了理論和實踐的檢驗，最後於18世紀末至19世紀初確立了虛數在數學中的地位．引進虛數，形成複數系，這是數的概念的第五次擴充．
上面,我們簡要地回顧了數的發展過程．必須指出，數的概念的產生，實際上是交錯進行的．例如，在人們還沒有完全認識負數之前，早就知道了無理數的存在；在實數理論還未完全建立之前,經運用虛數解三次方程了．
直到19世紀初，從自然數到複數的理論基礎，並未被認真考慮過．後來，由於數學嚴密性的需要以及公理化傾向的影響，促使人們開始認真研究整個數系的邏輯結構．從19世紀中葉起，經過皮亞諾(G．Peano，1855～1939)、康托爾(G．Cantor，1845～1918)、戴德金(R．Dedekind，1831～1916)、外爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等數學家的努力，完成了建立整個數系的邏輯工作．
近代數學關於數的理論，是在總結數的歷史發展的基礎上，用代數結構的觀點和比較嚴格的公理系統加以整理而建立起來的.作為數的理論系統的基礎，首先要建立自然數系，然後逐步加以擴充套件．一般採用的擴充套件過程是
N--------→Z--------→Q--------→R--------→C
(自然數集) (整數集) (有理數集) (實數集) (複數集)
科學的數集擴充，通常採用兩種方法：一是新增元素法，即把新元素新增到已建立的數集中去；二是構造法,即從理論上構造一個集合，然後指出這個集合的某個真子集與先前的數集是同構的．
中、小學數學教學中，為了適應學生的年齡特徵和接受能力,關於數系的擴充，主要是滲透近代數學觀點，採用新增元素並強調運算的方法來進行的．其擴充過程是:
自然數集(添零)→擴大的自然數集(添正分數)→算術數集(添負有理數)
→有理數集(添無理數)→實數集(添虛數)→複數集
數系的每一次擴充，都解決了一定的矛盾，從而擴大了數的應用範圍．但是，數系的每一次擴充也會失去某些性質．例如，從自然數系 N 擴充到整數系 Z 後，Z 對減法具有封閉性，但失去N 的良序性質，即N 中任何非空子集都有最小元素．又如，由實數系R 擴充到複數系C 後，C 是代數閉域，即任何代數方程必有根,但失去了R的順序性，C 中元素已無大小可言．
數系擴充到複數系後，能否繼續擴充?這個問題的答案是有條件的．如果要求完全滿足複數系的全部運算性質,那麼任何擴充都是難以成功的．如果放棄某些要求，那麼進一步的擴充是可能的．比如，放棄乘法交換律，複數系C可以擴充為四元數系H,如果再適當改變對乘法結合律的要求，四元數系H 又可擴充為八元數系Ca 等等．當然,在現代數學中，通常總是把“數”理解為複數或實數，只有在個別情況，經特別指出，才用到四元數．至於八元數的使用就更罕見了．