半群,獨異點與群 定義1. 具有結合律的代數稱半群,記為.半群對運算封閉且滿足結合律. o下面運算表給出一個半群. - 197 - o a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 從表中看出,欄內元素(運算結果)不出頭(表的左或上表頭元素)說明了封閉性;每個元都是右零元,必然具有結合律.值得注意的一個事實是:每元皆為右零元的代數當且僅當其每元均是左么元. 再如,均為半群,而,卻不是半群,因為數的加法和乘法具有結合律,而減法和除法不具有結合律. 設為半群,如果BS,且也是半群,則稱為的子半群,記為. o oo 如果半群的載體S的子集B對運算是封閉的,那麼必是的子半群.因為結合律在封閉性下得到了保持. oo實數乘法半群的子半群有有理數乘法半群,整數乘法半群等等. 定義2.含有單位元的半群稱為獨異點,記為;獨異點對運算封閉,可結合且含么元. o整數乘法半群是個獨異點,但自然數加法半群不是獨異點(前者么元是1後者么元要求0). 子獨異點的概念相仿於子半群一樣定義.不同的是多加了一個對么元的處置.子獨異點可以保持么元亦可以么元另選. 例如在模6乘法獨異點(其中i是I為6除餘i的等價類,i×6j=ij×,i,j=0,1,...,5.么元是1)中,,都是保持么元1的子獨異點,而- 198 - 也是一個子獨異點,但它的么元已另選元素×4. ×6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 載體有限的獨異點,其運算表中不會出現相同行和列.因為由么元作運算的對應行(從左運算)列(從右運算)首先是沒有相同元素的. 定理.獨異點中可逆元a,b滿足 o1.(a-1)-1=a; 2.aob亦可逆,且(aob)-1=b-1oa-1. 證明: 設e為的么元,則 o1.由aoa-1=a-1a=e知(a-1)-1=a; o2.由(aob)(b-1a-1)=a(bob-1)oa-1=aa-1=e oooo及(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=e知 (ab)-1=b-1a-1. ooooooooo定義3.每元均可逆的獨異點稱為群,記為.群對運算封閉,具有結合律,含有么元且每元均可逆. 例如有理數關於加法構成群:(1)有理數對加法封閉;(2)有理數對加法具有結合律;(3)么元是數0;(4)每一元素的逆元是其相反數.有理數關於加法構成的群稱有理數加法群. 同樣還有整數加法群,實數加法群及複數加法群等.另外,Q-{0},R-{0},C-{0}這三個集合關於數的乘法也形成群,分別稱為有理數乘法群,實數乘法群和複數乘法群. 例1.設P={A|A為n階可逆矩陣};" "為矩陣乘法,則是一個群. 這是因為,具有封閉性,矩陣乘法具有結合律,而且在乘法運算下,單位矩陣即為么元,P中每個矩陣的逆陣也就是它的逆元. 定義4.群中載體所含的元素個數稱為該群的階,記為|G|.當|G|有限時,稱為有限群,否則稱為無限群,或稱的階數為無窮大. oo群,獨異點,半群和代數系統之間的關係是: . o群具有極好的性質,下面我們以"事實"的形式來介紹它. 事實1.階數大於1的群中無零元. 因為:在階數大於1時,零元無逆元(它與任何元運算都是零元0而不可能是么元e). 事實2.群中一元一次方程aox=b及yoa=b總有解. 其解可構造為:x=a-1b,y=ba-1. oo事實3.群中具有消去律,即若ab=aoc則b=c;或者若ba=coa則b=c. oo事實上,b=eb=(a-1a)b=a-1(ab)=a-1(ac)=(a-1a)oc=c; oooooooo且b=be=b(aa-1)=(ba) a-1=(ca)a-1=co(aa-1)=ce=c. ooooooooo但是具有消去律的半群,獨異點未必就是群,如是半群也是獨異點並且具有消去律,然而它不是群(么元1以外的元無逆元). 事實4.群中么元以外的元均不冪等. 不然,e≠a,a冪等:a=aa,則a=ea=(a-1a)a=a-1(aa) =a-1a=e,矛盾. ooooooo事實5.有限群的運算表中的每行,每列都是群中元素的一個置換. - 200 - 事實5是事實3的一個顯然的結果. 下面介紹子群. 定義5.設是群,若G的非空子集S關於運算o也構成群,則稱為的子群,記為 . oo任何一個群至少有兩個子群:和自身,稱作群的平凡子群. ooo關於子群,有以下命題成立. 命題1.子群保持群的么元. oo證明: 因為是群,故有么元e1;是群,有么元e.所以g∈S當有e1og=g,但 ,故e1og=g在中亦成立.從而有e1og=g=eog.由消去律便得e1=e. o命題2.設是群,S是G的有限非空子集,如果S關於運算封閉,那麼是子群. oo證明:b∈S,由S對的封閉性,知b,b2,b3,...,bi,..., bj,...都是S中元素.S非空有限,b的冪次序列中當有相同元,不妨設bi=bj,並得bi=biobj-i,但bie=bi=bibj-i.由消去律,得bj-i=e,即除了具有封閉性而保持結合律外,還具有么元e.考慮bj-i=e.若j-i=1,則b=e,b-1=e;若j-i>1則bj-i-1b=e,b-1=bj-i-1,這對b∈S都對.故是群,因而是子群. oooo如果S是G的無限子集,則結論不能成立.例如,是群,N對+封閉,但不是子群.因為自然數在加法下沒有逆元(相反數不屬N),所以如此,是因為任一自然數形成的加法冪序列中,沒有相同元! 命題3.設是群,S是G的非空子集,則是的子群的充要條件是滿足下列兩個條件: o(1)對運算o具有封閉性; (2) x∈S,有x-1∈S. 證明:如果是群,則它顯然滿足上面兩個條件.反之,o- 201 - 設滿足條件(1),(2),則有eo∈S(e=xox-1∈S),而運算的結合律既然在中成立,當然在中也成立,故是群. o命題4.子群的判定: 設是群,S是G的非空子集,如果對任意a,b∈S都有aob-1∈S,則是的子群. o證明: (1)S非空,有a,a∈S, 由條件, aoa-1=e∈S, 所以S含么; (2)e∈S, aS, 由條件, a-1=ea-1 ∈o∈S, 所以S中每元均可逆; (3) a,bS,由(2)證知a,b-1∈∈S,由條件,a(b-1)-1=ab S.所以S對運算o封閉. oo∈(4)由(3),S對o運算封閉,對 a,b,c∈S,(aob) oc和a(boc)都屬S,但它們在G中是同一元,當然在G的子集S中還是同一元,即:a(boc)=(ab)oc.可見是子群. oooo在命題4中,如將條件" a,b∈S,都有ab-1o∈S"改為"a,bS,都有a-1ob ∈∈S",其結論仍真而證明亦相仿. 定義6.如果群關於運算o有交換律,則稱其為交換群,或稱為Abel群. o顯然,都是Abel群,而例1中不是Abel群,因為矩陣乘法不具有交換律. 對aG, 記a2=aoa; 一般an=an-1a, 稱為a的n次冪元.使用這一記法,我們有下述事實: ∈o群是Abel群,當且僅當對任意的a,b∈G,都有:(ab)2=a2ob2. o定義7.由一個元素a的全體冪元構成的群,稱迴圈群,元 素a稱為迴圈群的一個生成元,迴圈群由a生成,所以往往就以(a)表示這個迴圈群. 這裡所說a的全體冪元包含a的"負冪元",即a-1的冪元,a-n=(a-1)n. - 202 - 如果迴圈群由a生成,則G={an|no∈I},而當|G|=n時,G={e,a,a2,...,an-1}. 顯然,對任何一個群中的任何一個元素a,若記S={x|x=e或存在nI,使x=an},則是的一個迴圈子群. o∈
半群,獨異點與群 定義1. 具有結合律的代數稱半群,記為.半群對運算封閉且滿足結合律. o下面運算表給出一個半群. - 197 - o a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 從表中看出,欄內元素(運算結果)不出頭(表的左或上表頭元素)說明了封閉性;每個元都是右零元,必然具有結合律.值得注意的一個事實是:每元皆為右零元的代數當且僅當其每元均是左么元. 再如,均為半群,而,卻不是半群,因為數的加法和乘法具有結合律,而減法和除法不具有結合律. 設為半群,如果BS,且也是半群,則稱為的子半群,記為. o oo 如果半群的載體S的子集B對運算是封閉的,那麼必是的子半群.因為結合律在封閉性下得到了保持. oo實數乘法半群的子半群有有理數乘法半群,整數乘法半群等等. 定義2.含有單位元的半群稱為獨異點,記為;獨異點對運算封閉,可結合且含么元. o整數乘法半群是個獨異點,但自然數加法半群不是獨異點(前者么元是1後者么元要求0). 子獨異點的概念相仿於子半群一樣定義.不同的是多加了一個對么元的處置.子獨異點可以保持么元亦可以么元另選. 例如在模6乘法獨異點(其中i是I為6除餘i的等價類,i×6j=ij×,i,j=0,1,...,5.么元是1)中,,都是保持么元1的子獨異點,而- 198 - 也是一個子獨異點,但它的么元已另選元素×4. ×6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 載體有限的獨異點,其運算表中不會出現相同行和列.因為由么元作運算的對應行(從左運算)列(從右運算)首先是沒有相同元素的. 定理.獨異點中可逆元a,b滿足 o1.(a-1)-1=a; 2.aob亦可逆,且(aob)-1=b-1oa-1. 證明: 設e為的么元,則 o1.由aoa-1=a-1a=e知(a-1)-1=a; o2.由(aob)(b-1a-1)=a(bob-1)oa-1=aa-1=e oooo及(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=e知 (ab)-1=b-1a-1. ooooooooo定義3.每元均可逆的獨異點稱為群,記為.群對運算封閉,具有結合律,含有么元且每元均可逆. 例如有理數關於加法構成群:(1)有理數對加法封閉;(2)有理數對加法具有結合律;(3)么元是數0;(4)每一元素的逆元是其相反數.有理數關於加法構成的群稱有理數加法群. 同樣還有整數加法群,實數加法群及複數加法群等.另外,Q-{0},R-{0},C-{0}這三個集合關於數的乘法也形成群,分別稱為有理數乘法群,實數乘法群和複數乘法群. 例1.設P={A|A為n階可逆矩陣};" "為矩陣乘法,則是一個群. 這是因為,具有封閉性,矩陣乘法具有結合律,而且在乘法運算下,單位矩陣即為么元,P中每個矩陣的逆陣也就是它的逆元. 定義4.群中載體所含的元素個數稱為該群的階,記為|G|.當|G|有限時,稱為有限群,否則稱為無限群,或稱的階數為無窮大. oo群,獨異點,半群和代數系統之間的關係是: . o群具有極好的性質,下面我們以"事實"的形式來介紹它. 事實1.階數大於1的群中無零元. 因為:在階數大於1時,零元無逆元(它與任何元運算都是零元0而不可能是么元e). 事實2.群中一元一次方程aox=b及yoa=b總有解. 其解可構造為:x=a-1b,y=ba-1. oo事實3.群中具有消去律,即若ab=aoc則b=c;或者若ba=coa則b=c. oo事實上,b=eb=(a-1a)b=a-1(ab)=a-1(ac)=(a-1a)oc=c; oooooooo且b=be=b(aa-1)=(ba) a-1=(ca)a-1=co(aa-1)=ce=c. ooooooooo但是具有消去律的半群,獨異點未必就是群,如是半群也是獨異點並且具有消去律,然而它不是群(么元1以外的元無逆元). 事實4.群中么元以外的元均不冪等. 不然,e≠a,a冪等:a=aa,則a=ea=(a-1a)a=a-1(aa) =a-1a=e,矛盾. ooooooo事實5.有限群的運算表中的每行,每列都是群中元素的一個置換. - 200 - 事實5是事實3的一個顯然的結果. 下面介紹子群. 定義5.設是群,若G的非空子集S關於運算o也構成群,則稱為的子群,記為 . oo任何一個群至少有兩個子群:和自身,稱作群的平凡子群. ooo關於子群,有以下命題成立. 命題1.子群保持群的么元. oo證明: 因為是群,故有么元e1;是群,有么元e.所以g∈S當有e1og=g,但 ,故e1og=g在中亦成立.從而有e1og=g=eog.由消去律便得e1=e. o命題2.設是群,S是G的有限非空子集,如果S關於運算封閉,那麼是子群. oo證明:b∈S,由S對的封閉性,知b,b2,b3,...,bi,..., bj,...都是S中元素.S非空有限,b的冪次序列中當有相同元,不妨設bi=bj,並得bi=biobj-i,但bie=bi=bibj-i.由消去律,得bj-i=e,即除了具有封閉性而保持結合律外,還具有么元e.考慮bj-i=e.若j-i=1,則b=e,b-1=e;若j-i>1則bj-i-1b=e,b-1=bj-i-1,這對b∈S都對.故是群,因而是子群. oooo如果S是G的無限子集,則結論不能成立.例如,是群,N對+封閉,但不是子群.因為自然數在加法下沒有逆元(相反數不屬N),所以如此,是因為任一自然數形成的加法冪序列中,沒有相同元! 命題3.設是群,S是G的非空子集,則是的子群的充要條件是滿足下列兩個條件: o(1)對運算o具有封閉性; (2) x∈S,有x-1∈S. 證明:如果是群,則它顯然滿足上面兩個條件.反之,o- 201 - 設滿足條件(1),(2),則有eo∈S(e=xox-1∈S),而運算的結合律既然在中成立,當然在中也成立,故是群. o命題4.子群的判定: 設是群,S是G的非空子集,如果對任意a,b∈S都有aob-1∈S,則是的子群. o證明: (1)S非空,有a,a∈S, 由條件, aoa-1=e∈S, 所以S含么; (2)e∈S, aS, 由條件, a-1=ea-1 ∈o∈S, 所以S中每元均可逆; (3) a,bS,由(2)證知a,b-1∈∈S,由條件,a(b-1)-1=ab S.所以S對運算o封閉. oo∈(4)由(3),S對o運算封閉,對 a,b,c∈S,(aob) oc和a(boc)都屬S,但它們在G中是同一元,當然在G的子集S中還是同一元,即:a(boc)=(ab)oc.可見是子群. oooo在命題4中,如將條件" a,b∈S,都有ab-1o∈S"改為"a,bS,都有a-1ob ∈∈S",其結論仍真而證明亦相仿. 定義6.如果群關於運算o有交換律,則稱其為交換群,或稱為Abel群. o顯然,都是Abel群,而例1中不是Abel群,因為矩陣乘法不具有交換律. 對aG, 記a2=aoa; 一般an=an-1a, 稱為a的n次冪元.使用這一記法,我們有下述事實: ∈o群是Abel群,當且僅當對任意的a,b∈G,都有:(ab)2=a2ob2. o定義7.由一個元素a的全體冪元構成的群,稱迴圈群,元 素a稱為迴圈群的一個生成元,迴圈群由a生成,所以往往就以(a)表示這個迴圈群. 這裡所說a的全體冪元包含a的"負冪元",即a-1的冪元,a-n=(a-1)n. - 202 - 如果迴圈群由a生成,則G={an|no∈I},而當|G|=n時,G={e,a,a2,...,an-1}. 顯然,對任何一個群中的任何一個元素a,若記S={x|x=e或存在nI,使x=an},則是的一個迴圈子群. o∈