形式運算的定義順序：

後繼運算加法減法乘法（由加法即可定義，不需要減法）除法（依賴於乘法）n 次方（依賴於乘法，n 為正整數，下同）開 n 次方（依賴於 n 次方的定義）m/n 次方（依賴於開整數次方和乘方的定義）極限（依賴於有理數和無窮序列，無窮數列是自然數到有理數的一個對映，屬於）三角函式（依賴於級數）在離散結構中，後繼運算的性質有很大的決定作用。後繼運算，形式表述就是或者，但是，這樣的表述是有問題的，說到底，+ 和 1 意義不明。基礎符號往往是很難顯定義出來的，於是 Peano 給出了這樣的隱定義：0 是自然數。（因此自然數集合非空）對於任意的自然數 x，x=x。對於任意的自然數 x, y，如果 x=y，那麼 y=x。對於任意的自然數 x, y, z，如果 x=y 並且 y=z，那麼 x=z。（以上三條定義了「=」）對於任意的物件 x，如果 y 是一個自然數並且 x=y，那麼 x 是自然數。（自然數在 = 下封閉）對於任意的自然數 x，S(x) 是自然數。對於任意的自然數 x，都沒有 S(x)=0。（自然數的結構中沒有環，也不會終結）對於任意的自然數 x, y，如果 S(x)=S(y)，那麼 x=y。（S 是單射，但是根據前一點 S 不是滿射）對於任意的一元性質 P，如果 P(0)，並且，P(x) 能推出 P(S(x))，那麼對於任意自然數 n，P(n) 都成立。（規定了自然數的無窮結構）自然數是一個由後繼運算建立的基本結構，但是難道真的只有自然數這樣一個結構嗎？ 是的，如果我們滿足前面 5 條自然數公理（既 1, 6 ~ 9，4 條等詞公理一般是預設的）。7 決定了自然數不會構成一個環，也不會含有環（這裡的環是字面意義上的，而不是代數中的環）。S 本身的對映性質決定了自然數不會向後分叉，也即一個數不會有兩個後繼，而 8 決定了自然數不會向前分叉，也即，一個數不會有兩個前繼。9 決定了自然數不是這樣的無窮結構：0, 1, 2, 3, …, … -3", -2", -1", 0", 1", 2", 3", …（記作 N+Z，事實上我們還可以有 N+Z+Z……）因為自然歸納法只能歸納到 N+Z 前面的 N 部分，後面的 Z 部分不會涉及，但是 N+Z 滿足除了 9 之外的所有條目。如果我們將 7 改為 n 個 S 的迭代回到 0，如 SSSS(0)=0，那麼我們就有了有限群的結構。並且，如果我們將 7 改為 1=4（S(0)=SSSS(0)），那麼根據 8，0=SSS(0)。因此還是一個環狀結構，而不會是有一條尾巴的環。加法很顯然依賴於後繼運算元所匯出的結構。所幸自然數對於加法是封閉的，兩個自然數的和同樣是自然數（這一點由 6 和加法的定義保證）。於是可以這樣放心地定義加法：a+0=aa+S(b)=S(a+b)這種方法是遞迴式的，比如說對於一個具體的數字，a+SS(0)=SS(a+0)，到了遞迴的初始步，於是得到 SS(a)。乘法同理：a*0=0a*S(b)=a*b+a並且由於乘法就是加法，因此乘法也是封閉的。有趣的是，在簡單的加法迴圈群上，比如說由 0、1、2 構成的迴圈群，乘法和加法的定義是一樣的：唯一有差別的是公理7，它變成了：SSS(0)=0。注意，公理 8 並沒有被違反：SSSS(0)=S(0) 恰好說明了這兩者是一個元素而不是兩個元素。至於這個有限環上的乘法，也完全是依照前面自然數的乘法遞迴定義得到的：SS(0)*SS(0)=SS(0)*S(0)+SS(0)=SS(0)*0+SS(0)+SS(0)=SSSS(0)=S(0)。下面是減法和除法的時間。事實上，迴圈群結構上的減法比自然數上的更輕鬆，要說為什麼，是因為迴圈群上的減法是封閉的：如果 a+x=b，那麼 x 就是 b 和 a 的差，記作 x=b-a。或者這樣定義減法：如果 a+x=0，那麼 x 就是 a 的相反數，記作 x=-a。b-a:=b+(-a)。幸好這裡 SS(0)+S(0)=0，-1=2，-2=1，於是減法就變成了加法。在這種定義下，我們有一個加法群。同理，除法有兩種定義方式：如果 a*x=b，那麼x 就是 b 和 a 的商，記作 x=b/a或者，如果 a*x=1 ，那麼 x 就是 a 的倒數，記作 x=1/a。b/a:=b*(1/a)。又所幸，SS(0)*SS(0) =1。因此，每個非零元素都有乘法逆元，我們得到一個域。注意：這裡其實是碰巧的，如果我們約定 4=0 或者 6=0，那麼就會有 2*2=0 或者 2*3=0，那麼 2 或者（2 和 3）就是沒有逆元的。只有當 p 是素數的時候，這樣一個東西才能自然地變成一個域。事實上，數之所以總是被嫌棄，正是因為對於各種運算不封閉。自然數對減法不封閉，為了對減法封閉，我們有了整數，而為了對除法封閉，有了有理數，對於開方運算不封閉（實際上代數數是一個更廣的概念），我們有了代數數，另一方面，對於極限運算不封閉，我們有了實數。最後複數作為包含實數的最小代數閉域呈現在我們眼前，總算消停了。以整數的引入為例，當我們發現自然數的差可能不是自然數的時候，我們需要選擇擴充這個運算，直接的方法就是考慮所有這樣的數的集合：{ b-a : a>b 且兩者均是自然數}。但是你會發現這個集合中很多元素我們會希望它是相同的，比如說 1-2 和 2-3。我們都會希望它是 -1。另一方面，假設我們依據類似 S 的運算元，先定好了 -1, -2, -3, … 那麼我們的問題就是，要如何定義每一個負數和其它正數相加的方式了。從這兩個角度出發都可以定義整數，第一種做法就是將整數看成自然數的有序對：{(x,y) : x, y 均是自然數}然後，新增一個整數的等詞規則：如果 a+d=b+c，那麼 (a,b) = (c,d)。至於加法運算：(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)。乘法運算則需要重新定義了，因為這裡第一次出現了負負得正的問題。由於分類討論太麻煩，故忽略。如果我們將 (0,0) 以及和它相等的元素（如 (2,2)）看作 0，將 (1,0), (2,0), (3,0), … 以及和它們分別相當的元素看作是正數 1, 2, 3, …，那麼對應的 (0,1), (0,2)……以及 (1,2), (1,3) … 就是 -1, -2,…。根據加法的規則即可知。一個數 (a,b) 的相反數就是 (b,a)。除法和有理數同理，只需要將有理數看作是整數的有序對即可。等詞規則：ad=bc 則 (a,b)=(c,d) 注意非零乘法規則：(a,b)(c,d)=(ac,bd) 注意非零倒數計算規則：1/(a,b)=(b,a)當然像是加法規則這樣的東西就很複雜了，因為 (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)平方是可以直接定義在自然數上的，因為自然數的平方也就是兩個自然數相乘。任意自然數次方都是如此。開方作為平方的逆運算，可以定義在自然數上，也可以定義在環上，但是從環上我們就能看出問題來了：0,1,2 構成的環中，2^2=1, 1^1=1，因此 1 的平方根有兩個，而 2 沒有平方根。類似的事情發生在整數上，4 有兩個平方根，而 2 一個都沒有。即便有了有理數也是如此。而代數數的引入則是一個非常坑爹以至於我不想講的東西，要說原因也很簡單：方程的根可能不只一個。準確來說是，最高次數為偶數的單變數多項式的根可能不存在，而奇數的情況則必定存在。至於極限什麼的，如果已經認為有理數的運算是堅實的，那麼只需要理解無窮數列是什麼就行了。和前面所有的例子都不同，一個實數被定義為一個有理數的數列，而等同性關係則由收斂性來保證：如果兩個數列的差收斂到0，那麼這兩個數列就可以看作是相等的。這裡沒有排除兩個數列各自不收斂的情況。我懷疑只能用基本列的方式定義收斂性。因為有極限 a 這一點在定義玩實數之前是不能說的。總而言之路就是這樣的，非常清晰明瞭。哎呀寫了這樣一堆廢話忽然心情好多了。又能去和論文奮戰了。