從數量矩陣看特徵效應

對於最特殊的數量矩陣

對任意向量 都有，

這似乎是一件顯然的事情，不過如果從特徵的角度看，這個矩陣有特徵方程為

它有 重特徵根且為 ，特徵向量只要非零就行。

對於更一般的矩陣，我們也可以將之類比為數量矩陣（在相似意義下），只不過是用分塊的方式去理解：

我們發現，這個矩陣可以限定在特定的子空間上，例如 ，等效為一個數乘變換

總之，特徵思想可以理解為——研究一個矩陣在其（不變）子空間上的數乘效應。

再回過頭看，將 的特徵值 直接帶入特徵多項式：

我們會發現，特徵化的過程，就是將矩陣 “區域性”化為零矩陣。而 的某一特徵子空間正是——

從線性變換看特徵多項式

假如矩陣 可對角化，也就是說它有 個一維不變子（特徵向量），即

把限制在每個一維空間上的數乘變換 加起來，就是 對於空間 的整體作用：

那麼，

這種形式，給人的感覺就是那種靈魂被一點一點抽離—— ，最終剩下一團真空—— 。反映到特徵多項式就是如下形式：

其中 是 的特徵多項式，更是極小多項式；事實上，若極小多項式是不同的一次因式的乘積，當且僅當 可對角化。

接下來的內容就算是半賣半送了（）

Jordan 矩陣

可是，如果極小多項式 有重因式，矩陣 那就不能對角化了。設

我們回到對應的特徵空間分解，有

也就是說，光有 還不足以導致“區域性零化”，必須進行次冪後

才可以。在矩陣空間中專門有一類矩陣具有這樣的性質，那就是大名鼎鼎的冪零矩陣。在相似意義下冪零矩陣都長這樣，我們叫做 塊：

顯然有 ；設冪零矩陣

抽離掉靈魂 之後，只剩下行屍走肉的冪零矩陣，日漸沉淪、坍縮，最終消失。這就是 在每一個區域性的組成成分。

於是

即

或者簡記為

於是，對於更一般的矩陣以及極小多項式，我們給出了最一般的形式。

回到原點

類似於特徵向量的定義， 塊給準特徵向量帶來的效果是——

其中， 是某組基底。