幾何學包羅永珍，分支眾多，其分類其實並不是絕對的，我們從幾何學的發展大致可以將它分為歐氏幾何與非歐幾何，非歐幾何又分為羅氏幾何和黎曼幾何；當然還有仿影幾何和拓撲幾何等．

歐氏幾何開始研究的是直線和二次曲線（圓錐曲線：橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（長度、面積、角度等），當然平面幾何自然的過渡到三維空間的立體幾何，為了計算面積和體積問題，人們已經開始涉及微積分的概念．笛卡爾引入座標系之後，代數與幾何的關係變得明朗，且日益緊密，這就促使瞭解析幾何的產生，從解析幾何的角度出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質．總體來講，歐氏幾何的幾何結構是平坦的空間結構背景下考察，沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構．歐幾里得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了眾多數學家對它的質疑．由此，人們開始關注彎曲空間的幾何即非歐幾何．

非歐幾何的分類主要分為羅氏幾何和黎曼幾何．歐氏幾何的第五條公設：若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。 也叫平行公理，也可以簡單的說：過直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線平行，這是歐氏幾何的理論基礎．

羅氏幾何也稱雙曲幾何是俄國數學家羅巴切夫斯基創立並發展的，它是獨立於歐氏幾何的公理系統，歐氏幾何的第五公設被替代為＂雙曲平行公理＂：過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行．在這種公理體系中，透過演繹推理可以證明一系列與歐氏幾何完全不同的命題，例如三角形的內角和小於180度．凡是涉及平行公理的結論，羅氏幾何的結論都是不成立的．

黎曼幾何：由德國數學家黎曼創立，也稱橢圓幾何，在這套公理體系下，並不承認平行線的存在，任何一個平面內兩條直線一定有交點，認為平面內的直線可以無限延長，但總的長度是有限的，黎曼幾何的模型我們可以看作一個經過改進的球面．隨著黎曼幾何的發展，發展出許多的數學分支，（代數拓撲學、偏微分方程、多複變函式理論等）成為微分幾何的基礎，甚至成為廣義相對論理論基礎．

與此同時，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點引入觀察範圍，人們開始考慮射影幾何．它研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科．也叫投影幾何學．射影幾何在航空、測量繪圖、攝影等方面有廣泛的應用．而作為射影幾何的子幾何仿影幾何又獨立發展．

拓撲學是確定幾何圖形或空間在改變開關後還能保持不變的一些性質的學科．它只考慮物體間的位置關係而不考慮形狀和大小，其中重要的性質包括連通性與緊緻性．它的發展促進了很多分支的進步，例如微分拓撲學、幾何拓撲、代數拓撲等．

以上只是就幾個比較重要的幾何學分支作了介紹，其實還有分形幾何、計算幾何、代數幾何等．其實要將幾何學嚴格的分類出來非常困難，很多幾何學分支獨立發展但又與其它分支緊密聯絡．例如歐氏幾何發展下的解析幾何直接促進了微積分的產生和發展，在研究彎曲空間的度量需要用微積分的方法去區域性分析空間彎曲的性質，這樣就促進了古典微分幾何的發展，它又是黎曼幾何的基礎．而現代微分幾何開始研究更一般的空間：流形，它同時又與拓撲學緊密聯絡，幾何學各分支獨立發展又相互促進．隨著幾何學的發展，這種聯絡只會越來越緊密，要分類更加困難．

平面幾何

又稱為歐幾里得幾何

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，透過有限的公理來證明所有的“真命題”。

歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是：

任意兩個點可以透過一條直線連線。

任意線段能無限延伸成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有直角都相等。

若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。 立體幾何

數學上，立體幾何(Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱—- 因為實際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測量問題：圓柱，圓錐， 錐臺， 球，稜柱， 楔， 瓶蓋等等。 畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體，但是稜錐，稜柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

非歐幾何

非歐幾里得幾何是指不同於歐幾里得幾何學的幾何體系，簡稱為非歐幾何，一般是指羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和黎曼的橢圓幾何。它們與歐氏幾何最主要的區別在於公理體系中採用了不同的平行定理。

羅氏幾何

羅巴切夫斯基幾何，也稱雙曲幾何，波利亞-羅巴切夫斯基幾何或羅氏幾何，是一種獨立於歐幾里得幾何的一種幾何公理系統。雙曲幾何的公理系統和歐氏幾何的公理系統不同之處在於歐幾里得幾何的“第五公設”（又稱平行公理，等價於“過直線之外一點有唯一的一條直線和已知直線平行”）被代替為“雙曲平行公理”（等價於“過直線之外的一點至少有兩條直線和已知直線平行”）。在這種公理系統中，經過演繹推理，可以證明一系列和歐氏幾何內容不同的新的幾何命題，比如三角形的內角和小於180度。

黎曼幾何

黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

解析幾何

解析幾何（Analytic geometry），又稱為座標幾何（Coordinate geometry）或卡氏幾何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒幾何，是一種藉助於解析式進行圖形研究的幾何學分支。解析幾何通常使用二維的平面直角座標系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星型線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角座標系來研究平面、球等各種一般空間曲面，同時研究它們的方程，並定義一些圖形的概念和引數。

射影幾何

射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。也叫投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處於一個特殊的地位，透過它可以把其他一些幾何學聯絡起來。

仿射幾何

仿射幾何學（affine geometry）是幾何學的一個分支。屬於高等數學的一種。主要應用於測量，建築，攝影等等

代數幾何

現代數學的一個重要分支學科。它的基本研究物件是在任意維數的（仿射或射影）空間中，由若干個代數方程的公共零點所構成的集合的幾何特性。這樣的集合通常叫做代數簇，而這些方程叫做這個代數簇的定義方程組。

代數簇是由空間座標的一個或多個代數方程所確定的點的軌跡。例如，三維空間中的代數簇就是代數曲線與代數曲面。代數幾何研究一般代數曲線與代數曲面的幾何性質。

微分幾何

微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。

古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。

微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯絡，對物理學的發展也有重要影響。愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎。

計算幾何

計算幾何研究的物件是幾個圖形。早期人們對於影象的研究一般都是先建立座標系，把圖形轉換成函式，然後用插值和逼近的數學方法，特別是用樣條函式作為工具來分析圖形，取得了可喜的成功。然而，這些方法過多地依賴於座標系的選取，缺乏幾何不變性，特別是用來解決某些大撓度曲線及曲線的奇異點等問題時，有一定的侷限性。