若函式 H(z) 的收斂域包括單位園（z=），我們就可在這個單位園上計算 H(z) ，
並得到系統頻率響應：
根據尤拉恆等式, 其幅度,
對所有 w 值，該複數都在複平面的單位圓上，而且其位置隨著 w 變化而變化。當 w
從 0 到 π增加時，沿單位圓從（ 1 ， 0 ）向（－ 1 ， 0 ）移動。
一般地，極點 d 定義為 複數 a+j β，則上式中的（–di）用 表示為：
表示在 z 複平面上由極點 di 指向單位圓上 z = 點的向量。
用極座標形式表示為：
它恰恰是和極點之間的距離，所以，系統的幅頻響應的形狀可以表示為：
根據這個表示式，對於特定的 w ，與極點 di 之間之間的距離越小，其幅度響應越
大。當沿單位圓從 0 到 π移動時（在前面講過，由於週期性和對稱性，頻率響應只
需畫出 0~ π就夠了），最靠近極點 d i 時，w 所對應的幅度響應為最大值；換句話講，
當 w 和極點 di 的相位相符時，可獲得最大幅度。而且極點位置越靠近單位圓，這個最
大值就越大 .
同樣地，用 表示在 z 複平面上由零點 c i 指向單位圓上的 z = 點的向量：
因此：
其中：
對於0~π 弧度的數字頻率 w ，離濾波器極點越近，離零點越遠,則幅度就越大。同
樣，靠近單位圓的極點，將導致濾波器形狀在某一頻率上有非常大的幅值，而靠近單位圓
的零點，將導致濾波器形狀在某一頻率上有非常小的幅值。這個幅值大小的劇烈變化可增
加濾波器的選擇性。
幅度響應與零極點的關係：
極點附近出現峰值。當極點在單位圓上時，將出現 ∞ ，極點在單位圓外，
系統不穩定。
在零點附近頻響出現谷值，零點在單位圓上時，零點值為零，零點可以在單位圓外。
2_53 判斷濾波器的形狀，濾波器的傳輸函式為：
解：濾波器在 z=0.45 處有一極點，無零點，其零極點如下圖所示，並標出了的位置。
從圖中可以看到，當 w=0 時，到極點的距離最小，而 w 接近π時，距離最大。因
為幅頻響應的幅度是這個距離的倒數。所以，幅度在接近 w=0時最大，靠近 π 弧度時
最小。因此，該濾波器具有低通特性。
由於極點不是很靠近單位圓，所以該濾波器的選擇性不是非常好，幅頻特性如圖所示。
例 2_54 推斷濾波器的形狀，濾波器的差分方程為：
解：該濾波器的傳輸函式為：
濾波器在 z=0 處有三個極點，零點在 z=j 與 z ＝ -j 處。零極點如圖，並標出了
的位置。因為極點都在原點，對所有的 w 值，極點到的距離都相同，因此，只有零點
的位置影響濾波器的形狀，當 w= π /2 時，e jw 到其中一個零點的距離為 0 ，則幅值
為 0 。所以，這個濾波器具有帶阻特性，下圖也示出了準確的濾波器特性，其也驗證了
上述推測。
2_55比較下列濾波器的形狀
解： 三個濾波器的零極點如圖所示，它們都沒有零點。
第一個濾波器的極點為 –0.7686 ± j0.5584 ，幅度為 0.95 ；第二個濾波器的極點
為–0.7281 ± j0.5290 ，幅度為0.9；第三個濾波器的極點為－0.6472 ± j0.4702 ，
幅度為 0.8 。
下圖可以看出，對三個濾波器來講，極點離單位圓最近時所對應的數字頻率是相等的。所
以，幅度響應在這個 w=0.8 π處都有一個尖峰，是每個數的極座標形式的相位。
三個濾波器中， a 的極點最接近單位圓，距離最短，所以，它的尖鋒最大。下
圖所示的幅頻響應也證實了這點。
若函式 H(z) 的收斂域包括單位園（z=），我們就可在這個單位園上計算 H(z) ，
並得到系統頻率響應：
根據尤拉恆等式, 其幅度,
對所有 w 值，該複數都在複平面的單位圓上，而且其位置隨著 w 變化而變化。當 w
從 0 到 π增加時，沿單位圓從（ 1 ， 0 ）向（－ 1 ， 0 ）移動。
一般地，極點 d 定義為 複數 a+j β，則上式中的（–di）用 表示為：
表示在 z 複平面上由極點 di 指向單位圓上 z = 點的向量。
用極座標形式表示為：
它恰恰是和極點之間的距離，所以，系統的幅頻響應的形狀可以表示為：
根據這個表示式，對於特定的 w ，與極點 di 之間之間的距離越小，其幅度響應越
大。當沿單位圓從 0 到 π移動時（在前面講過，由於週期性和對稱性，頻率響應只
需畫出 0~ π就夠了），最靠近極點 d i 時，w 所對應的幅度響應為最大值；換句話講，
當 w 和極點 di 的相位相符時，可獲得最大幅度。而且極點位置越靠近單位圓，這個最
大值就越大 .
同樣地，用 表示在 z 複平面上由零點 c i 指向單位圓上的 z = 點的向量：
因此：
其中：
對於0~π 弧度的數字頻率 w ，離濾波器極點越近，離零點越遠,則幅度就越大。同
樣，靠近單位圓的極點，將導致濾波器形狀在某一頻率上有非常大的幅值，而靠近單位圓
的零點，將導致濾波器形狀在某一頻率上有非常小的幅值。這個幅值大小的劇烈變化可增
加濾波器的選擇性。
幅度響應與零極點的關係：
極點附近出現峰值。當極點在單位圓上時，將出現 ∞ ，極點在單位圓外，
系統不穩定。
在零點附近頻響出現谷值，零點在單位圓上時，零點值為零，零點可以在單位圓外。
2_53 判斷濾波器的形狀，濾波器的傳輸函式為：
解：濾波器在 z=0.45 處有一極點，無零點，其零極點如下圖所示，並標出了的位置。
從圖中可以看到，當 w=0 時，到極點的距離最小，而 w 接近π時，距離最大。因
為幅頻響應的幅度是這個距離的倒數。所以，幅度在接近 w=0時最大，靠近 π 弧度時
最小。因此，該濾波器具有低通特性。
由於極點不是很靠近單位圓，所以該濾波器的選擇性不是非常好，幅頻特性如圖所示。
例 2_54 推斷濾波器的形狀，濾波器的差分方程為：
解：該濾波器的傳輸函式為：
濾波器在 z=0 處有三個極點，零點在 z=j 與 z ＝ -j 處。零極點如圖，並標出了
的位置。因為極點都在原點，對所有的 w 值，極點到的距離都相同，因此，只有零點
的位置影響濾波器的形狀，當 w= π /2 時，e jw 到其中一個零點的距離為 0 ，則幅值
為 0 。所以，這個濾波器具有帶阻特性，下圖也示出了準確的濾波器特性，其也驗證了
上述推測。
2_55比較下列濾波器的形狀
解： 三個濾波器的零極點如圖所示，它們都沒有零點。
第一個濾波器的極點為 –0.7686 ± j0.5584 ，幅度為 0.95 ；第二個濾波器的極點
為–0.7281 ± j0.5290 ，幅度為0.9；第三個濾波器的極點為－0.6472 ± j0.4702 ，
幅度為 0.8 。
下圖可以看出，對三個濾波器來講，極點離單位圓最近時所對應的數字頻率是相等的。所
以，幅度響應在這個 w=0.8 π處都有一個尖峰，是每個數的極座標形式的相位。
三個濾波器中， a 的極點最接近單位圓，距離最短，所以，它的尖鋒最大。下
圖所示的幅頻響應也證實了這點。