簡介黎曼函式是一個特殊函式，由德國數學家黎曼發現提出，在高等數學中被廣泛應用，在很多情況下可以作為反例來驗證某些函式方面的待證命題。 此函式在微積分中有著重要應用。定義R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)內的無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q為既約真分數），即x為(0,1)內的有理數。性質定理：黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。 證明：對任意x0∈(0,1)，任給正數ε，考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點，因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式（q∈N+），且對每個q，函式值等於1/q的點都是有限的，所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點，連同0、1，與x0的最小距離為δ，則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中，從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 推論：黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續，有理點處處不連續。 推論：黎曼函式在區間[0,1]上是黎曼可積的。（實際上，黎曼函式在[0,1]上的積分為0。） 證明：函式可積性的勒貝格判據指出，一個有界函式是黎曼可積的，當且僅當它的所有不連續點組成的集合測度為0。黎曼函式的不連續點集合即為有理數集，是可數的，故其測度為0，所以由勒貝格判據，它是黎曼可積的。變體R(x)=0，如果x為任意無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x為任意非零有理數； R(x)=1，如果x=0。 這樣定義的黎曼函式R上的所有無理點處處連續，有理點處處不連續。
簡介黎曼函式是一個特殊函式，由德國數學家黎曼發現提出，在高等數學中被廣泛應用，在很多情況下可以作為反例來驗證某些函式方面的待證命題。 此函式在微積分中有著重要應用。定義R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)內的無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q為既約真分數），即x為(0,1)內的有理數。性質定理：黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。 證明：對任意x0∈(0,1)，任給正數ε，考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點，因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式（q∈N+），且對每個q，函式值等於1/q的點都是有限的，所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點，連同0、1，與x0的最小距離為δ，則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中，從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 推論：黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續，有理點處處不連續。 推論：黎曼函式在區間[0,1]上是黎曼可積的。（實際上，黎曼函式在[0,1]上的積分為0。） 證明：函式可積性的勒貝格判據指出，一個有界函式是黎曼可積的，當且僅當它的所有不連續點組成的集合測度為0。黎曼函式的不連續點集合即為有理數集，是可數的，故其測度為0，所以由勒貝格判據，它是黎曼可積的。變體R(x)=0，如果x為任意無理數； R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x為任意非零有理數； R(x)=1，如果x=0。 這樣定義的黎曼函式R上的所有無理點處處連續，有理點處處不連續。