基本概念 數學中的伯努利不等式是說：對任意整數n≥0，和任意實數x>-1， 有(1+x)^n≥1+nx成立； 如果n≥0是偶數，則不等式對任意實數x成立。 可以看到在n=0,1，或x=0時等號成立，而對任意正整數n≥2和任意實數x≥-1，x≠0，有 嚴格不等式： (1+x)^n>1+nx。 伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。 伯努利不等式的一般式為 (1+x1+x2+x3···+xn)<=(1+x1)(1+x2)(1+x3)···(1+xn)當且僅當n=1時等號成立 注：x後的字母或數字為下標編輯本段證明 設x>-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx. 證明: 用數學歸納法: 當n=1,上個式子成立, 設對n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 則 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是對一切的自然數,當 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式： 若r≤0或r≥1，有(1+x)^r≥1+rx 若0≤r≤1，有(1+x)^r≤1+rx 這個不等式可以直接透過微分進行證明，方法如下： 如果r=0，1，則結論是顯然的 如果r≠0，1，作輔助函式f(x)=(1+x)^r-(1+rx),那麼f"(x)=r*(1+x)^(r-1)-r,則f"(x)=0<==>x=0; 下面分情況討論： 1.0<r<1，則對於x>0，f"(x)<0；對於−1<x<0，f"(x)>0。因此f(x)在x=0處取最大值0，故得(1+x)^r≤1+rx。 2.r<0或r>1，則對於x>0，f"(x)>0；對於−1<x<0，f"(x)<0。因此f(x)在x=0處取最小值0，故得(1+x)^r≥1+rx 證畢
基本概念 數學中的伯努利不等式是說：對任意整數n≥0，和任意實數x>-1， 有(1+x)^n≥1+nx成立； 如果n≥0是偶數，則不等式對任意實數x成立。 可以看到在n=0,1，或x=0時等號成立，而對任意正整數n≥2和任意實數x≥-1，x≠0，有 嚴格不等式： (1+x)^n>1+nx。 伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。 伯努利不等式的一般式為 (1+x1+x2+x3···+xn)<=(1+x1)(1+x2)(1+x3)···(1+xn)當且僅當n=1時等號成立 注：x後的字母或數字為下標編輯本段證明 設x>-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx. 證明: 用數學歸納法: 當n=1,上個式子成立, 設對n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 則 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是對一切的自然數,當 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式： 若r≤0或r≥1，有(1+x)^r≥1+rx 若0≤r≤1，有(1+x)^r≤1+rx 這個不等式可以直接透過微分進行證明，方法如下： 如果r=0，1，則結論是顯然的 如果r≠0，1，作輔助函式f(x)=(1+x)^r-(1+rx),那麼f"(x)=r*(1+x)^(r-1)-r,則f"(x)=0<==>x=0; 下面分情況討論： 1.0<r<1，則對於x>0，f"(x)<0；對於−1<x<0，f"(x)>0。因此f(x)在x=0處取最大值0，故得(1+x)^r≤1+rx。 2.r<0或r>1，則對於x>0，f"(x)>0；對於−1<x<0，f"(x)<0。因此f(x)在x=0處取最小值0，故得(1+x)^r≥1+rx 證畢