永原始的ε-δ語言即可：

lim(x→0)（f(x)/x)=a意思是對任意ε>0,存在δ1>0

當0

f(x)在x=0處連續，則對上述ε，存在δ2>0

當0

則對任意的ε>0，取δ=min（δ1，δ2）

有|f(x)|=|x[f(x)/x-a]+ax|

因此lim(x→0)f(x)=0。當然你可以讓上面的|f(x)/x-a|

若要f(x)連續，就需要f(x)從正向趨於0的極限=從負向趨於0的極限=f(0)=a先求limf(x)從正向趨於0=lim(b+arctan1/x)從正向趨於0=b+π/2然後再求從負向趨於0的極限值，然後這3個數相等，就可以求出a，b，當x<0的表示式看不清，請詳細寫一下再幫你計算。

首先，由函式f（x）在x=0處連續，有

lim

x→0f(x)＝f(0)，

所以，

lim

x→0

f(x)

x→

f(0)

0．

（1）選項A．

若

lim

x→0

f(x)

x存在，也就是x→0時，

f(0)

0的極限存在，

如果f（0）≠0，則

lim

x→0

f(x)

x＝∞，這樣一來，

lim

x→0

f(x)

x的極限也就不存在了，所以f（x）=0，

故選項A正確．

（2）選項B．

根據選項A的分析，同理選項B，由於

lim

x→0[f(x)+f(?x)]＝2f(0)，因而也是成立的，

故選項B正確．

（3）選項C．

由選項A，我們知道f（0）=0，

所以

lim

x→0

f(x)

x＝

lim

x→0

f(x)?f(0)

x＝f′（0），故f′（0）存在，

故選項C正確．

（4）選項D．

我們透過舉反例，比如：f（x）=|x|，顯然滿足題目條件，

但f（x）在x=0處不可導，故選項D錯誤．

故選：D．