定義寫的明明白白，就是六個外角。

至於外角和定理，外角等於另外兩個內角之和，哪裡說三個外角了？該不會是哪個輔導書寫的吧？

不用反駁，學生說的沒有問題，任何一個多邊形一個頂點都有兩個外角，n邊形有2n個外角。只是在三角形外角定理會增加說明一句，一個頂點只選取一個外角計算。

我認為這個問題極具教研價值。在我的教學生涯中，每當在教到這個章節時，特別是多邊形外角和時，必然要牽扯到多邊形外角的個數問題？雖然沒有學生當面質疑，但總覺得少數學生沒有心服，只有口服。這是教師在教學時常面臨的兩難：不提不知道，提出更困惑。明知少數愛思考的學生可能會困惑，但限於大多數學生知識和認知的侷限，教師不會主動提出（除非有學生主動提出），以免引起更多人認知上的困惑。

看罷題主的描述，我認為師生的交鋒分兩輪：

第一輪：

老師認為：三角形有三個外角。

學生認為：三角形有六個外角。

第二輪：

師生都認為：三角形的外角和等於三角形所有外角的和。

但因為師生第一輪認知衝突，導致第二輪表面看起來好像師生達成共識，其實不然！師生對“所有”二字的理解，顯然是不同的。老師理解的“所有”是“三個”，學生理解的“所有”是“六個”。

爭議的焦點在於：1.三角形到底有幾個外角？2.三角形的外角和是指三角形所有外角的和嗎？並由此聯想到：n邊形到底有幾個外角？ n邊形的外角和是指n邊形所有外角的和嗎？

任何新概念的引入都是在已有認知基礎之上的。無論是三角形的外角，還是三角形的外角和，它們都來源於已有的認知（相對應於三角形的內角、三角形的內角和）。原有的認知對新概念的建立產生的影響，有時候是積極的，起促進作用；有時候是消極的，有干擾作用。教學的最理想的狀態，就是能夠引起學生的認知上衝突，在最近發展區調動學生學習的積極性，發揮其潛能，擴大已有認知的積極影響，克服消極影響，從而超越最近發展區，進入一個發展階段。對學生是這樣，有時候對教師也是這樣的！所謂教學相長，意即如此。本文師生的兩輪交鋒就是實現這種教學狀態難得的教學資源。

三角形的到底有幾條邊，幾個內角？

----圖1----

三角形有三個頂點，三條邊，三個內角。頂點數，邊數，內角個數是一一對應的關係，這是不爭的事實。

但是，學生對三角形的邊，內角的認知，是以對線段，角的認知為基礎的。如果學生對線段和角的認知出現偏差，就會產生如下認識：比如，有學生認為三角形有六條邊，六個內角。

其理由是：按照定義，三角形相鄰兩個頂點所連的線段，叫做三角形的邊；三角形相鄰兩邊組成的角，叫三角形的內角。

△ABC中，三個頂點A，B，C，顯然可以連出六條線段：AB，BA；AC，CA；BC，CB，因而三角形有六條邊。

同樣地，三角形相鄰兩邊組成的角有六個：∠BAC,∠CAB；∠ABC,∠CBA；∠ACB,∠BCA，因而三角形有六個內角。

作為老師，如何迴應這樣的質疑？

不外乎從兩個方面：

（1）僅從A，B，C三個字母的排列方式（有序）來說，其排列方式有六種：AB，BA；AC，CA；BC，CB，這無疑是正確的。但是把這種理解遷移到對三角形邊的理解，就是負遷移了，就產生抑制和干擾了。因為三角形的邊只能用A，B，C三個字母的組合（無序）方式來理解。A，B，C組合方式只有三種AB，BC，CA。因為要用到排列與組合，這樣的解釋很顯然不適合初中生。

（2）結合圖形（很重要！），已有的認知：線段是沒有方向的（無序），線段AB和線段BA是同一條線段（從圖形看，它們是完全重合的！），其他同理。因而，由三個頂點A，B，C，任意兩個頂點連線段，有且只有三條線段AB，BC，CA，因而三角形有且只有三條邊。該同學所說的六條，其實只有三條。從計數原則來說，他重複計數了。同樣的解釋，適合於內角。甲邊與乙邊組成的角，其組成方式是無序的！從甲到乙還是從乙到甲組成的都是同一個角。因而該同學所說的六個角，其實一半是重複的，所以三角形有且只有三個內角。

什麼叫三角形的外角？三角形到底有幾個外角？

按教科書的定義，三角形一邊與另一邊的延長線組成角，叫做三角形的外角。

如何理解其中“一邊的延長線”這個說法？

理解1：一邊只能向一個方向延長，因而三角形有三個外角。

如下圖，△ABC的三條邊，每邊只向一個方向延長，其延長線與另一條邊組成角有三個∠1，∠2，∠3。

----圖2----

理解2：一邊可以向兩個方向延長，因而三角形有六個外角。

如下圖，△ABC的三條邊，每邊可以向二個方向延長，其延長線與另一條邊組成角有六個∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它們互為對頂角，度數是相等的。

----圖3----

兩種理解，到底哪一種理解正確？

只能從原有的認知去確認。原有的認知：雖然線段沒有方向性，但可以向兩個方向無限延長，延長後，其實得到兩條不同的射線，而線段的延長線就是這兩條射線上除去原線段後的部分。

所以從原有的認知可以確認，雖然線段沒有方向性，但其延長線是有方向性的。實際教學中，我們常以正向延長線和反向延長線來區分！因而上述第一種理解是片面的，不完整的，第二種理解才是完整的。

顯然題主是第一種理解，學生是第二種理解。

這一輪，題主的理解錯誤，學生的理解正確。

三角形有六個外角！

三角形的內角和是三角形所有內角的和嗎？

三角形內角和定理：三角形三個內角的和等於180°。

此處強調三個內角，顯然是為後續的三角形外角和定理埋下伏筆的！

前面說過，三角形的頂點數，邊數，內角個數，是一一對應的關係，三角形3個頂點，3個內角，因而三角形內角和定理完全可以弱化理解為：三角形所有內角的和等於180°。此處這種理解強調“所有”，弱化“所有”的具體數目。其實在大多數的人記憶中，甚至連“所有”二字都省掉了，直接理解為：三角形的內角和等於180°。這樣理解三角形內角和定理，不會出問題，但將此遷移到三角形的外角和，顯然就會出現大問題，正如前面敘述師生的第二輪交鋒：

老師理解為：三角形的頂點數，邊數，內角個數，外角個數仍然為一一對應的關係：三角形3個頂點，3條邊，3個內角，3個外角，所以三角形的外角和當然是所有（3個）外角的和。

學生理解為：三角形的頂點數，邊數，內角個數，外角個數並不是一一對應關係：三角形3個頂點，3條邊，3個內角，6個外角，所以三角形的外角和當然是所有（6個）外角的和。

但是，教科書上說的是，三角形的外角和是指，在三角形的每一個頂點處各取一個外角，這些外角的和，叫做三角形的外角和。“這些外角”顯然是指“3個外角”，而非“6個”。

第二輪交鋒，師生各對一半。

因而三角形的外角和是指三角形3個外角（每個頂點各取一個）的和。

1.至此，我們可以得出最終結論：三角形有6個外角，其中三個外角（每個頂點各取一個）的和，叫做三角形的外角和。

三角形外角和定理：三角形的三個外角（每個頂點各取一個）的和等於360°。（證明從略）

並由此推廣到n邊形：n邊形，有n個頂點，n條邊，n個內角，2n個外角，n邊形的n個內角的和等於（n-2）180°，n邊形的n個外角（每個頂點各取一個）的和等於360°。

2.本人對教科書關於三角形外角和定義的認識：

合理性：

a.三角形的外角和是三角形內角和的延續，

b.三角形外角和在生活中的對應模型：從三角形一個頂點出發，沿三邊繞行一週，回到起點，身體轉向360°。

3.本人對教科書關於三角形外角定義的認識：

現行教科書對三角形外角的定義，容易引發師生認知衝突，焦點在於三角形的外角到底有幾個？（3 or 6）三角形外角和到底是3個還是6個外角的和？

為避免此衝突，三邊形的外角和的定義應修改為：三角形的一邊的正向延長線與另一邊組成的角。這樣定義更加合理，承前接後過渡更自然！

一個三角形本來就有6個外角，你還要反駁？你有資格當老師嗎？只是說“三角形外角和”的時候，只取每一個內角相鄰的一個外角而已。

三角形是3個外角還是6個外角並不重要，反正就算有6個，那也兩兩相等，具體應用時學生知道怎麼處理就好了。如果有人出：三角形有幾個外角，這樣的概念題，我只能說那人SB。

一個三角形本來就有6個外角!三角形外角和的定義指的是每個頂點各取一個外角的和，教材中有特別強調，所以並無衝突