斐波那契數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+).那麼這句話可以寫成如下形式：F(0) = 0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)顯然這是一個線性遞推數列.通項公式的推導方法一：利用特徵方程線性遞推數列的特徵方程為：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5,C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根號5）通項公式的推導方法二：普通方法設常數r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1,-rs=1n≥3時,有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]將以上n-2個式子相乘,得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r,F(1)=F(2)=1上式可化簡得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)那麼：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1,-rs=1的一解為 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}迭代法已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求數列{an}的通項公式解 :設an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))得α+β=1αβ=-1構造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2所以an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2由式1,式2,可得an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4將式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化簡得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}