把積分方程轉化為微分方程，對兩邊同時求導得到

df/dx=cosx+xf-xf-∫f(t)dt

再求導

f""(x)=-sinx-f(x)

f""+f=-sinx

變成了二階線性常係數微分方程

然後就是先求齊次通解再求非齊次特解再相加的過程，就是一般的這類微分方程的解題辦法，會了吧。

f(x) = sinx - ∫(0~x) (x - t) f(t) dt

= sinx - x∫(0~x) f(t) dt + ∫(0~x) tf(t) dt，之後兩邊對x求導

f"(x) = cosx - [x" · ∫(0~x) f(t) dt + x · f(x)] + xf(x)

f"(x) = cosx - ∫(0~x) f(t) dt，兩邊再對x求導

f""(x) = - sinx - f(x)

==> y"" + y = - sinx，解微分方程

特徵方程：r² + 1 = 0 => r = ±i

y = Acosx + Bsinx

令特解：p = x · (Acosx + Bsinx) = Axcosx + Bxsinx

p"" = - Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx，代入微分方程中

p"" + p = - sinx

(- Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx) + (Axcosx + Bxsinx) = - sinx

- 2Asinx + 2Bcosx = - sinx

解得A = 1/2，B = 0

p = (1/2)xcosx

通解為y = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx

所以f(x) = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx，其中A和B都是任意常數