n如果要談一個集合是開集或是閉集與在討論這個集合時定義的拓撲是不應該被分開的。 首先我們來看拓撲的定義。首先我們有一個全集X，接下來我們找到一個滿足如下條件的X的子集族T:(1)空集與X在T中(2)T中任意子族的元素取並後仍在T中(注意任意包括了無窮多甚至不可數個集合組成的子族)(3)任意有限子族的元素取交仍在T中稱這樣的子集族T為X上的一個拓撲，T中的元素稱為開集，而T中元素的補集即定義為閉集。 在一般的分析學中，我們最常用的的也是最經典的拓撲就是R上的歐氏拓撲，在這個拓撲下我們以形如(a,b)的集合及這一類集合作任意並生成的集合為開集，而在這個意義下很容易證明在剛才定義拓撲時對開集的定義與一般入門的數學分析教材上對開集的定義是等價的。而換言之若使用數學分析上對開集與閉集的定義，就默認了R上的歐氏拓撲。 那麼在R上有沒有很怪的拓撲吶？當你將形如[a,b)及其任意並做成的集合定義為開集從而生成一個拓撲時，你會發現會有很多你認為正確的結論現在都不成立了，比如現在我們可以知道[a,b)是一個開集，從而作為一列左開右閉區間的並集，形如[a,正無窮)的集合也是開集，同理形如(負無窮,a]的集合是開集，作為這類集合的補集，[a,正無窮)也是個閉集，從而我們獲得了除了全集和空集以外的又一類既開又閉的集合，顯然這在一般討論的歐氏拓撲裡是做不到的。 那麼在不同的拓撲意義下同樣的集合會有很多不同的性質，回到你現在的問題，你選擇了用(0,1)作為全集，但並沒有指明你使用的拓撲。歐氏拓撲中的全集為R，而你現在的全集是(0,1)，從而你不能直接硬搬歐氏拓撲上的結論來用在你現在遇到的問題。在(0,1)上最常用的拓撲通常是子空間拓撲，即用歐氏空間的開集與(0,1)相交來定義開集，可以看到在這個定義下歐氏空間上大多數結論依然是成立的，唯一的區別就是你的全集變成了(0,1)，也就是R變成了(0,1)，因此在涉及到閉集的問題時由於有補集的運算，從而一些看上去並不是閉集的集合也變成了閉集，比如[1/2,1)作為(0,1/2)的補集，顯然它是一個閉集，但它顯然不是歐氏空間的閉集，究其原因，就是選取的拓撲不一樣而已。 建議題主可以找一些一般拓撲學的教材來看，不要糾結於數學分析上並不是很通用的定義。推薦Munkres的拓撲學，這是一本可讀性很好的拓撲學入門教材。 手機碼字，許多符號打不出來，希望大家見諒！(如果有人看的話 )
n如果要談一個集合是開集或是閉集與在討論這個集合時定義的拓撲是不應該被分開的。 首先我們來看拓撲的定義。首先我們有一個全集X，接下來我們找到一個滿足如下條件的X的子集族T:(1)空集與X在T中(2)T中任意子族的元素取並後仍在T中(注意任意包括了無窮多甚至不可數個集合組成的子族)(3)任意有限子族的元素取交仍在T中稱這樣的子集族T為X上的一個拓撲，T中的元素稱為開集，而T中元素的補集即定義為閉集。 在一般的分析學中，我們最常用的的也是最經典的拓撲就是R上的歐氏拓撲，在這個拓撲下我們以形如(a,b)的集合及這一類集合作任意並生成的集合為開集，而在這個意義下很容易證明在剛才定義拓撲時對開集的定義與一般入門的數學分析教材上對開集的定義是等價的。而換言之若使用數學分析上對開集與閉集的定義，就默認了R上的歐氏拓撲。 那麼在R上有沒有很怪的拓撲吶？當你將形如[a,b)及其任意並做成的集合定義為開集從而生成一個拓撲時，你會發現會有很多你認為正確的結論現在都不成立了，比如現在我們可以知道[a,b)是一個開集，從而作為一列左開右閉區間的並集，形如[a,正無窮)的集合也是開集，同理形如(負無窮,a]的集合是開集，作為這類集合的補集，[a,正無窮)也是個閉集，從而我們獲得了除了全集和空集以外的又一類既開又閉的集合，顯然這在一般討論的歐氏拓撲裡是做不到的。 那麼在不同的拓撲意義下同樣的集合會有很多不同的性質，回到你現在的問題，你選擇了用(0,1)作為全集，但並沒有指明你使用的拓撲。歐氏拓撲中的全集為R，而你現在的全集是(0,1)，從而你不能直接硬搬歐氏拓撲上的結論來用在你現在遇到的問題。在(0,1)上最常用的拓撲通常是子空間拓撲，即用歐氏空間的開集與(0,1)相交來定義開集，可以看到在這個定義下歐氏空間上大多數結論依然是成立的，唯一的區別就是你的全集變成了(0,1)，也就是R變成了(0,1)，因此在涉及到閉集的問題時由於有補集的運算，從而一些看上去並不是閉集的集合也變成了閉集，比如[1/2,1)作為(0,1/2)的補集，顯然它是一個閉集，但它顯然不是歐氏空間的閉集，究其原因，就是選取的拓撲不一樣而已。 建議題主可以找一些一般拓撲學的教材來看，不要糾結於數學分析上並不是很通用的定義。推薦Munkres的拓撲學，這是一本可讀性很好的拓撲學入門教材。 手機碼字，許多符號打不出來，希望大家見諒！(如果有人看的話 )