交比定理 交比：給定四個點，A、B、C、D，那麼，（A,B;C,D）=(AB·CD)/(AC·BD)就是這四個點的交比，換言之，就是“交叉比值”。 交比定理：射影變換保持交比不變。假設E是射影中心，直線m上的點A、B、C、D與E的連線交直線n於A"、B"、C"、D"。那麼，（A,B;C,D）=（A",B";C",D"）。 下面，用面積法給出這個問題的證明，看圖。 齊次座標和對偶原理 如果一個點的Descartes座標是(a/c,b/c)，那麼齊次座標是 (a/c,b/c,1)，也可以是(a,b,c)；只要這個比值相同，就始終代表同一個點。齊次座標包括點座標和線座標，而且，齊次點座標和齊次線座標的外形是相同的，所以從代數學的角度看，點共線的對偶情形是線共點。這就是對偶原理的主要內容。 在我看來，齊次座標的作用就是統一了對於點和線的操作。 二次曲線上的射影變換 這裡，有一個非常深刻的結論：兩個中心不重合的射影對應的線束，對應直線的交點的軌跡是一條經過兩個中心的二次曲線。這是射影幾何學裡最重要的結論，它的證明過程，如果用代數的方法，是非常簡潔的，這裡不在贅述；不過作為補償，用一個圖例來演示一下：平面上，三個定點A、B、C，四條定直線（黑色的）；J、N分別是直線m、n上的動點，線束A(J)和B(N)是射影對應的；直線AJ交BN於P，那麼當點J遍歷直線m時，P的軌跡是一條經過A和B的二次曲線（圖例中的二次曲線是橢圓）。 反過來，給定某條二次曲線上的定點A、B和動點P，那麼，線束A(P)和B(P)是射影對應的。 配極變換和對偶原理 要了解配極變換，先要了解極點和極線的概念。極點和極線都是針對二次曲線而來的。 當點C位於二次曲線裡面的時候，過C做二次曲線的任意兩條弦DG、EF；設直線DF交EG於H，DE交FG於I；那麼，對於這條二次曲線，C的極線是HI，HI的極點是C，極點和極線總是相互的。 當點C位於二次曲線上（或外面）的時候，是相對簡單的，這裡不提。 對偶原理在這裡的體現是：如果點共線，那麼這些點關於某條二次曲線的極線必共點；反之亦然。 不動點原理 任何一個射影變換，無論是點列、線束，還是二次曲線上的射影變換，都有不動點。而尋找不動點，是解決許多作圖問題的重要途徑。 看下圖：給定二次曲線 f 上的兩個定點M、N，定直線 u 交 f 於P、Q；A是 f 上的動點，直線AN交 u 於R，直線MR交 f 於A"；那麼，從A到A"就是射影變換，A和A"是射影對應的關係，A的對應點是A"。如果A向M靠近，那麼A"就向N靠近，這說明M的射影對應點是N。容易發現，P、Q是這個射影變換的不動點，即：P的對應點是P，Q的對應點是Q。 對合 這裡說的對合，指的是射影變換裡的對合。如果A到A"是一個射影變換，同時，A"的對應點是A，那麼這個射影變換就是對合。 對合，只有兩種基本形式： 倒數型：u·u"=k(k≠0)； 相反數型：u+u"=0。