如果描述兩種物理現象的方程具有相同數學形式，則他們解的數學形式也是相同的，這就是對偶原理（dual principle）物理中的對偶原理例如，在電磁學中，均勻介質中的靜電場與均勻導電媒質中的恆定電場有對偶關係，電位移向量D與電流密度向量J，電荷q與電流I對偶。如果在導電媒質中的電流密度向量與電介質中的電位移向量處於相同的邊界情況(邊界形狀、尺寸、相互位置及場源都相同)下，則介質中的靜電場與均勻導電媒質中的恆定電場具有相同的電場分佈，即兩者等位面的分佈一致，且線與線的分佈也一致。由於這兩種場的對偶性，透過對偶量的代換，就可以直接由靜電場的解得到恆定電場的解，節省了計算量，反之亦然。再如，電路中，電壓源與電流源、短路與開路、串聯與並聯、電阻與電導、電容與電感，都存在對偶關係。在使用節點電壓法和迴路電流法時，不改變互為對偶的元件的值，將會得到形式完全一樣的對偶方程，從而得到相同的一組解。 數學中的對偶原理在射影平面上，如果在一個射影定理中把點與直線的觀念對調，即把點改成直線，把直線改成點，把點的共線關係改成直線的共點關係，所得的命題仍然成立，這稱為對偶原理。可以利用有心二次曲線的配極對映來完成。例如，德沙格定理是有關點、直線以及它們的銜接關係的定理，它是一個射影定理。它的對偶定理就是它的逆定理。該原理也可推廣到n維射影空間中去。簡言之，對偶，是大自然中最為廣泛存在的，呈“分形”形態分佈的一種結構規律，及任何系統往下和往上均可找出對偶二象的結構關係，且二象間具有完全性，互補性，對立統一性，穩定性，互漲性和互根性。現代控制理論中的對偶原理在自動控制論中，有時候需要研究系統的可控性和可觀測性。利用對偶原理可以對研究系統方程帶來很多方便。自動控制域中的能控與能觀的特點見相關章節，本例不在贅述設系統為Sys1(A,B,C)，則Sys2(AC,B）就是Sys1的對偶系統。其動態方程應該滿足如下標準形式：Sys1:x"=Ax+BUy=CxSys2:z"=Az+Cvw=Bz其中 x,z是n維狀態向量 u,w是p維向量；y，v均為q維向量。顯然，依據此定義，可以知道，若Sys1是Sys2的對偶系統，則Sys2也是Sys1的對偶系統。兩者間有如下特點：Sys1的可控性矩陣與Sys2的可觀測性矩陣完全相同，而Sys1的可觀測性矩陣又與Sys2的可控性矩陣完全相同！正因為如此簡單的對偶關係，我們可以把可觀測的單輸入-單輸出系統化為可觀測標準型的問題 化為 將其對偶系統化為可控標準型的問題。設單輸入-單輸出系統的動態方程為：x"=Ax+BUy=Cx且該系統可觀測，但A，C不是能觀標準型。那麼，其對偶系統動態方程為z"=Az+Cvw=Bz對偶就一定可控，但不是可控標準型。解決辦法是可以利用已知的，化為可控標準型的步驟，先將對偶系統化為可控標準型。再一次利用對偶原理，立即得到能觀標準型。具體解決步驟：1列出對偶可控性矩陣V2=[CAC... （AT）C]2求V2矩陣的逆陣V2=[v1 v2 ... vn]3取V2第n行構造矩陣P4依據對偶原理得：P=[VnAVn...AVn]
如果描述兩種物理現象的方程具有相同數學形式，則他們解的數學形式也是相同的，這就是對偶原理（dual principle）物理中的對偶原理例如，在電磁學中，均勻介質中的靜電場與均勻導電媒質中的恆定電場有對偶關係，電位移向量D與電流密度向量J，電荷q與電流I對偶。如果在導電媒質中的電流密度向量與電介質中的電位移向量處於相同的邊界情況(邊界形狀、尺寸、相互位置及場源都相同)下，則介質中的靜電場與均勻導電媒質中的恆定電場具有相同的電場分佈，即兩者等位面的分佈一致，且線與線的分佈也一致。由於這兩種場的對偶性，透過對偶量的代換，就可以直接由靜電場的解得到恆定電場的解，節省了計算量，反之亦然。再如，電路中，電壓源與電流源、短路與開路、串聯與並聯、電阻與電導、電容與電感，都存在對偶關係。在使用節點電壓法和迴路電流法時，不改變互為對偶的元件的值，將會得到形式完全一樣的對偶方程，從而得到相同的一組解。 數學中的對偶原理在射影平面上，如果在一個射影定理中把點與直線的觀念對調，即把點改成直線，把直線改成點，把點的共線關係改成直線的共點關係，所得的命題仍然成立，這稱為對偶原理。可以利用有心二次曲線的配極對映來完成。例如，德沙格定理是有關點、直線以及它們的銜接關係的定理，它是一個射影定理。它的對偶定理就是它的逆定理。該原理也可推廣到n維射影空間中去。簡言之，對偶，是大自然中最為廣泛存在的，呈“分形”形態分佈的一種結構規律，及任何系統往下和往上均可找出對偶二象的結構關係，且二象間具有完全性，互補性，對立統一性，穩定性，互漲性和互根性。現代控制理論中的對偶原理在自動控制論中，有時候需要研究系統的可控性和可觀測性。利用對偶原理可以對研究系統方程帶來很多方便。自動控制域中的能控與能觀的特點見相關章節，本例不在贅述設系統為Sys1(A,B,C)，則Sys2(AC,B）就是Sys1的對偶系統。其動態方程應該滿足如下標準形式：Sys1:x"=Ax+BUy=CxSys2:z"=Az+Cvw=Bz其中 x,z是n維狀態向量 u,w是p維向量；y，v均為q維向量。顯然，依據此定義，可以知道，若Sys1是Sys2的對偶系統，則Sys2也是Sys1的對偶系統。兩者間有如下特點：Sys1的可控性矩陣與Sys2的可觀測性矩陣完全相同，而Sys1的可觀測性矩陣又與Sys2的可控性矩陣完全相同！正因為如此簡單的對偶關係，我們可以把可觀測的單輸入-單輸出系統化為可觀測標準型的問題 化為 將其對偶系統化為可控標準型的問題。設單輸入-單輸出系統的動態方程為：x"=Ax+BUy=Cx且該系統可觀測，但A，C不是能觀標準型。那麼，其對偶系統動態方程為z"=Az+Cvw=Bz對偶就一定可控，但不是可控標準型。解決辦法是可以利用已知的，化為可控標準型的步驟，先將對偶系統化為可控標準型。再一次利用對偶原理，立即得到能觀標準型。具體解決步驟：1列出對偶可控性矩陣V2=[CAC... （AT）C]2求V2矩陣的逆陣V2=[v1 v2 ... vn]3取V2第n行構造矩陣P4依據對偶原理得：P=[VnAVn...AVn]