因為對多元函式的某一自變數求偏導時，“假定”其它變數為“常數”。換句話說，對變數求偏導的先後次序，並不影響最終的求偏導結果。

不失一般性，設z=f(x²y,xy²)具有二階連續偏導數，我們來證明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。

設u=x²y，v=xy²，則 ∂u/∂x=2xy，∂u/∂y=x²；∂v/∂x=y²，∂v/∂y=2xy。故有

∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)

∂²z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)]/∂y

=2x(∂f/∂u)+2xy(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+2y(∂f/∂v)+y²(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)

=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)

∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)

∂²z/∂y∂x=∂(∂z/∂y)/∂x=∂[x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)]/∂x

=2x(∂f/∂u)+x²(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+2y(∂f/∂v)+2xy(∂²f/∂v²)(∂v/∂x)

=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)

=∂²z/∂x∂y

顯然，∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x，因此求二階偏導時，與自變數的先後次序無關。