1、凹函式是一個定義在某個向量空間的凹子集C(區間)上的實值函式f。

設f為定義在區間I上的函式，若對I上的任意兩點X1，X2和任意的實數λ∈(0，1)，總有

f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 則f稱為I上的上(下)凹函式。

判定方法可利用定義法、已知結論法以及函式的二階導數。

其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凹函式

2、凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集C中任意兩個向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤（f(x1)+f(x2))/2。

於是容易得出對於任意（0,1)中有理數p,f(px1+(1-p)x2）≤pf(x1)+(1-p)f(x2）。如果f連續，那麼p可以改成任意（0,1）中實數。

若這裡凸集C即某個區間I，那麼就是：設f為定義在區間I上的函式，若對I上的任意兩點X1，X2和任意的實數λ∈（0，1），總有

f（λx1+(1-λ）x2）≤λf(x1)+(1-λ）f(x2),

則f稱為I上的凸函式。

判定方法可利用定義法、已知結論法以及函式的二階導數

對於實數集上的凸函式，一般的判別方法是求它的二階導數，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函式。（向下凸）

如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函式。