我想你大概不是來找定義的，我就說我對這玩意幾何上的理解。

微分總體是為了刻畫函式區域性的增長率，高中的導數就是斜率，那語境到多元函式的時候，我們怎麼辦？

z如果是一個三維裡的曲面，當某一個點可微的時候，我們怎麼刻畫這玩意的區域性增長率？

回想導數的定義：

這其實是在x0這個點附近找另一個f上的點，連起來，用y的變化量除以x的變化量這個代表這一部分的斜率，之後使兩點不斷靠近（取極限），作為一個點的定義，也就是斜率。這個過程就是所謂的線性逼近（用直線逼近嘛，很寫實了。。）

那當我們處理多元函式怎麼辦？

拿二元函式z（x，y）舉例好了，我們還想複製上面的過程。考察z（x0，y0）變成z（x0+h，y0+h）的變化量，定義出多元函式的類似導數的東西。

但是由於我們對多元函式缺乏‘斜率’這樣直觀好用的幾何物件（不信你可以試一試畫一個直三稜錐，想想怎麼表示這個你需要的‘斜率’），所以我們先想辦法考察我們會的東西：

把（x0，y0）的y軸固定下來，這樣相當於把二元函式z在y=y0這裡切出了一個切面，這樣我們就可以把切面上的這條曲線（當然這條曲線也屬於z）拿來算導數了：

因為固定了y，我們把這叫做z在x方向上的偏導數：

，類似的，我們很容易得到關於y的偏導數。

從這裡出發，我們再次利用線性逼近的思想，並推廣一步：

當我們考察的函式“鄰域”足夠小的時候，我們可以把曲面當成平面。這就是所謂線性近似的幾何解釋。注意是解釋，不是證明，不是定義。完整的定義，我們需要藉助鏈式法則，或（過時又被拋棄的）高階無窮小量給出。

得到全微分的定義（二元）：

如果你喜歡代數證明的話，全微分是鏈式法則的直接結果。

是不是覺得還缺些什麼？之前說偏微分的時候把偏微分定義在曲面切平面上，不就可以定義更加自然的多元函式”導數“了嗎？事實上這就是所謂的方向導數，也就是任意某個方向的偏導數。如果想進一步瞭解，請找梯度與方向導數。