首先，注意到，計算機運算的物件只能是二進位制，它並不區分正負數，或者說它總是把二進位制看作正數。所以我們總是要先把整數表示成二進位制，計算機才可以進行運算。
既然計算機它總是把二進位制看作正數，那麼我們如何表示負數？
答案就是，我們自己規定了一套規則把負數轉化成二進位制。這個規則就是，使用一個數的補碼錶示這個數的負數。
補碼：如果兩個二進位制的和是2^w，則我們稱之為互為補碼。（w是整數的二進位制位數）
因為這樣的規定，減法運算實際上變成了取補運算。
下面是證明：
那麼為什麼，要這麼規定呢？因為這麼規定是可以得到正確的結果的，這他媽不是廢話嗎，別急，下面我們來看看到底怎麼得到正確結果的。
假設一個數x，它的負數是y，我們只要能證明，透過使用補碼能計算得到x + y = 0，那麼我們就證明了補碼運算的正確。
證明：
因為，根據規定，負數的二進位制就是正數的補碼，
所以可以得到y = 2^w - x。
那麼，x + y = x + 2^w - x = 2^w。（結果並不是0啊，別急接著往下證明）
又因為，w位的二進位制，2^w是表示不了的，因為它是w+1位的二進位制，1後面跟w個0，這種情況下計算機會捨棄最高位，只保留低w位，2^w的低w位就是0。
所以，x + y = 0。
綜上，補碼正確性得到證明。
首先，注意到，計算機運算的物件只能是二進位制，它並不區分正負數，或者說它總是把二進位制看作正數。所以我們總是要先把整數表示成二進位制，計算機才可以進行運算。
既然計算機它總是把二進位制看作正數，那麼我們如何表示負數？
答案就是，我們自己規定了一套規則把負數轉化成二進位制。這個規則就是，使用一個數的補碼錶示這個數的負數。
補碼：如果兩個二進位制的和是2^w，則我們稱之為互為補碼。（w是整數的二進位制位數）
因為這樣的規定，減法運算實際上變成了取補運算。
下面是證明：
那麼為什麼，要這麼規定呢？因為這麼規定是可以得到正確的結果的，這他媽不是廢話嗎，別急，下面我們來看看到底怎麼得到正確結果的。
假設一個數x，它的負數是y，我們只要能證明，透過使用補碼能計算得到x + y = 0，那麼我們就證明了補碼運算的正確。
證明：
因為，根據規定，負數的二進位制就是正數的補碼，
所以可以得到y = 2^w - x。
那麼，x + y = x + 2^w - x = 2^w。（結果並不是0啊，別急接著往下證明）
又因為，w位的二進位制，2^w是表示不了的，因為它是w+1位的二進位制，1後面跟w個0，這種情況下計算機會捨棄最高位，只保留低w位，2^w的低w位就是0。
所以，x + y = 0。
綜上，補碼正確性得到證明。