勾股數
凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數。
①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起九沒有間斷過。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），並根據你發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和絃的算式。
②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關係，並對其中一種猜想加以說明。
勾股數-構成直角三角形的充分且必要條件
設直角三角形三邊長為a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，這是構成直角三角形三邊的充分且必要的條件。因此，要求一組勾股數就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整數解。
例：已知在△abc中，三邊長分別是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求證：∠c=90°。此例說明了對於大於2的任意偶數2n(n＞1)，都可構成一組勾股數，三邊分別是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。
再來看下面這些勾股數：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…這些勾股數都是以奇數為一邊構成的直角三角形。由上例已知任意一個大於2的偶數可以構成一組勾股數，實際上以任意一個大於1的奇數2n+1(n＞1)為邊也可以構成勾股數，其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，這可以透過勾股定理的逆定理獲證。
勾股數-特點
觀察分析上述的勾股數，可看出它們具有下列二個特點：
1、直角三角形短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續自然數。
2、一個直角三角形的周長等於短直角邊的平方與這邊的和。
掌握上述二個特點，為解一類題提供了方便。
例：直角三角形的三條邊的長度是正整數，其中一條短直角邊的長度是13，求這個直角三角形的周長是多少？
用特點1解：設這個直角三角形三邊分別為13、x、x+1，則有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182。
用特點2解：此直角三角形是以奇數為邊構成的直角三角形，因此周長=169+13=182。
勾股數
凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數。
①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起九沒有間斷過。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），並根據你發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和絃的算式。
②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關係，並對其中一種猜想加以說明。
勾股數-構成直角三角形的充分且必要條件
設直角三角形三邊長為a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，這是構成直角三角形三邊的充分且必要的條件。因此，要求一組勾股數就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整數解。
例：已知在△abc中，三邊長分別是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求證：∠c=90°。此例說明了對於大於2的任意偶數2n(n＞1)，都可構成一組勾股數，三邊分別是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。
再來看下面這些勾股數：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…這些勾股數都是以奇數為一邊構成的直角三角形。由上例已知任意一個大於2的偶數可以構成一組勾股數，實際上以任意一個大於1的奇數2n+1(n＞1)為邊也可以構成勾股數，其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，這可以透過勾股定理的逆定理獲證。
勾股數-特點
觀察分析上述的勾股數，可看出它們具有下列二個特點：
1、直角三角形短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續自然數。
2、一個直角三角形的周長等於短直角邊的平方與這邊的和。
掌握上述二個特點，為解一類題提供了方便。
例：直角三角形的三條邊的長度是正整數，其中一條短直角邊的長度是13，求這個直角三角形的周長是多少？
用特點1解：設這個直角三角形三邊分別為13、x、x+1，則有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182。
用特點2解：此直角三角形是以奇數為邊構成的直角三角形，因此周長=169+13=182。