數學裡面所有的名詞都是有嚴格定義的！
對映:
從一個拓撲空間到另一個拓撲空間的對應關係。對於每一個x，都有唯一的y與之對應。如果對於一個x，對應一個“集合”，而非唯一的一個y，這種對應關係稱為“集值對映”。
對映的概念是最一般的。對於對映的操作，最典型的是同倫。對於集值對映，最有名的結果是Kakutani不動點定理及其在博弈論和最最佳化中的應用。這些內容都屬於拓撲學。
集值對映和對映統稱為對應。
對應屬於“關係”，關係是一個哲學範疇。
運算元（即算符）:
從一個函式空間（比如Banach空間、Hilbert空間、Sobolev空間）到另一個函式空間。注意，函式空間當然屬於拓撲空間，而且是拓撲線性空間，不過是無限維度的。而無限維的拓撲“非線性”空間一般稱為Banach流形/Hilbert流形。因此運算元屬於對映。
有的時候，從有限維空間到有限維空間的對映也會稱為“運算元”，比如矩陣，是最常見的線性運算元。
運算元有線性與非線性之分。
有關線性運算元的統一結果參考線性泛函分析的Baire綱定理和它的一系列推論：如共鳴定理、Banach逆運算元定理以及閉影象定理。它們在工程數學中都有重要的作用。
有關非線性運算元的理論需要依託非線性泛函分析，其中最重要的結果還是無限維空間中的隱函式定理。其實這裡應該叫“隱運算元定理”，但“隱函式”大家都叫了百年叫習慣了。有關非線性運算元，更深的內容需要Banach流形上的一些拓撲方法，如偽梯度流和拓撲形變定理。對於非線性運算元，最簡單、工程數學和經濟數學上也最常用的一個結果則是壓縮對映原理。
變換:
如果一個運算元，其定義域和值域是拓撲線性同構的（線性同胚的），那麼這種運算元稱為“變換”。比如矩陣，就是一個“線性變換”。對於這塊內容，線性代數這門課已經作了透徹的研究。再比如Fourier變換,給定一個f(t)就有一個F(w)——這也是函式空間到其線性同構的函式空間的變換。
函式:
一般指從一個有限維空間/有限維流形到數域（實數域或複數域）的對映。“函式”應該是我們最最熟悉的映射了。
有關函式，最重要的結果是微積分中的隱函式定理，這是微分學中最為重要的結果。沒有之一。
泛函:
從一個空間（有限維/無限維均可）到數域的對映。聽名字也知道，普通的函式也屬於泛函。但一般情況下，為了強調定義域是無限維空間/無限維流形的，我們會把這一類對映稱為泛函。
為什麼要強調定義域是無限維的 ？因為無限維與有限維有著拓撲學上的質變。比如，對於定義在緊集上的連續實值函式，必能取到最大值最小值，但對於泛函，這一結論並不成立。
有關線性泛函的重要結論有Hahn Banach定理以及Riesz表示定理以及弱收斂方法等一系列結果。
對於非線性泛函的研究主要參考變分方法（參考張恭慶的臨界點理論）和非線性偏微分方程理論。
總結:
函式屬於泛函，泛函和變換都屬於運算元，運算元屬於對映
數學裡面所有的名詞都是有嚴格定義的！
對映:
從一個拓撲空間到另一個拓撲空間的對應關係。對於每一個x，都有唯一的y與之對應。如果對於一個x，對應一個“集合”，而非唯一的一個y，這種對應關係稱為“集值對映”。
對映的概念是最一般的。對於對映的操作，最典型的是同倫。對於集值對映，最有名的結果是Kakutani不動點定理及其在博弈論和最最佳化中的應用。這些內容都屬於拓撲學。
集值對映和對映統稱為對應。
對應屬於“關係”，關係是一個哲學範疇。
運算元（即算符）:
從一個函式空間（比如Banach空間、Hilbert空間、Sobolev空間）到另一個函式空間。注意，函式空間當然屬於拓撲空間，而且是拓撲線性空間，不過是無限維度的。而無限維的拓撲“非線性”空間一般稱為Banach流形/Hilbert流形。因此運算元屬於對映。
有的時候，從有限維空間到有限維空間的對映也會稱為“運算元”，比如矩陣，是最常見的線性運算元。
運算元有線性與非線性之分。
有關線性運算元的統一結果參考線性泛函分析的Baire綱定理和它的一系列推論：如共鳴定理、Banach逆運算元定理以及閉影象定理。它們在工程數學中都有重要的作用。
有關非線性運算元的理論需要依託非線性泛函分析，其中最重要的結果還是無限維空間中的隱函式定理。其實這裡應該叫“隱運算元定理”，但“隱函式”大家都叫了百年叫習慣了。有關非線性運算元，更深的內容需要Banach流形上的一些拓撲方法，如偽梯度流和拓撲形變定理。對於非線性運算元，最簡單、工程數學和經濟數學上也最常用的一個結果則是壓縮對映原理。
變換:
如果一個運算元，其定義域和值域是拓撲線性同構的（線性同胚的），那麼這種運算元稱為“變換”。比如矩陣，就是一個“線性變換”。對於這塊內容，線性代數這門課已經作了透徹的研究。再比如Fourier變換,給定一個f(t)就有一個F(w)——這也是函式空間到其線性同構的函式空間的變換。
函式:
一般指從一個有限維空間/有限維流形到數域（實數域或複數域）的對映。“函式”應該是我們最最熟悉的映射了。
有關函式，最重要的結果是微積分中的隱函式定理，這是微分學中最為重要的結果。沒有之一。
泛函:
從一個空間（有限維/無限維均可）到數域的對映。聽名字也知道，普通的函式也屬於泛函。但一般情況下，為了強調定義域是無限維空間/無限維流形的，我們會把這一類對映稱為泛函。
為什麼要強調定義域是無限維的 ？因為無限維與有限維有著拓撲學上的質變。比如，對於定義在緊集上的連續實值函式，必能取到最大值最小值，但對於泛函，這一結論並不成立。
有關線性泛函的重要結論有Hahn Banach定理以及Riesz表示定理以及弱收斂方法等一系列結果。
對於非線性泛函的研究主要參考變分方法（參考張恭慶的臨界點理論）和非線性偏微分方程理論。
總結:
函式屬於泛函，泛函和變換都屬於運算元，運算元屬於對映