設慣性系K"(x",y",z",t")沿慣性系K(x,y,z,t)的x軸正向以速度U=(u,0,0)勻速運動，自慣性系K到慣性系K"的正交線性變換為A=(aij) (i,j=1,2,3,4)，即(x",y",z",t")=(x,y,z,t)A ①令R=(x,y,z),R"=(x",y",z"),A11=(aij) (i,j=1,2,3),A12=(ai4) (i=1,2,3),A21=(a4j) (j=1,2,3),A22=(a44)， 則由K到K"的線性變換可改寫為R"=RA11+tA21,t"=RA12+ta44 ②於是dR"/dt"=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44) 令dR/dt=V,dR"/dt"=V"，則V、V"分別表示運動粒子在K與K"系中的速度，上式可改寫為V"=(VA11+A21)/(VA12+a44) ③滿足上述速度變換的初始條件有（1）洛侖茲變換與伽利略變換的公共條件：“V"=0,V=U”與“V=0,V"=–U”;(2)滿足伽利略變換的極限條件：|V|→∞時，|V"|→∞。將條件（2）代入，並令V/|V|=V0得|V"|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ （|V|→∞）上式成立，必有A12"=0=(0,0,0) [注1]，於是③式變為V"=VA11/a44+A21/a44 ④再將條件（1）代入④式，得UA11/a44+A21/a44=0,A21/a44=–U由此得A21=–UA11,A21 =–Ua44由於U=(u,0,0)，代入上式便得a12=a13=a42=a43=0,a41=–a11u, a44=a11，再由A12"=(0,0,0)得a14=a24=a34=0，代入④式，並令V=(vx,vy,vz),V"=(vx",vy",vz")，便得(vx",vy",vz")=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz,a22vy +a32vz,a23vy +a33vz)/a11 ⑤由於對於vx"=0的點，vx =u，代入便得a21=a31=0；對於vy =0的點，vy" =0，代入便得a32=0；對於vz =0的點，vz" =0，代入便得a23=0，於是有a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0,a41=–a11u,a44=a11將上述條件代入①式得(x",y",z",t")=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut),a22y,a33z,a11t） ⑥又當t=0時，K與K"兩慣性系重合，故當t=0時，有x"=x,y"=y,z"=z [注2] ，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，這樣就得到了伽利略變換為(x",y",z",t")=( x–ut,y,z,t) 證畢。[注1] A12"表示A12的轉置。[注2]顯然這一條件是相對論所不容許的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛侖茲變換證明中的假定a22=a33=1，或根據洛侖茲變換證明中使用的慣性系平權原理：自K"繫到K系的線性變換為A(-U)，且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，從而得到伽利略變換。