原回答有修改。

相關係數就是標準化的協方差，自由度是n-2。

協方差的自由度是n-1，因為其中含均值。

1）相關係數是資料標準化(資料減均值再除以方差)後的協方差。y資料標準化後，新Y的平方和Syy(或新Y的方差)為固定值，即Σ(Yi/s-Ybar/s)^2/（n-1）=s^2/s^2=1，多了一個新Y的關係式限定，所以自由度再減1。因此相關係數自由度等於n-2。

也可以理解為，分母中含有舊Syy平方和(或舊y的方差），就多1個自由度限制。因為在均值已知的情況下，如果平方和(或方差）也已知，那麼n個y資料中如知道了n-1個，透過平方和(或方差)公式可以算出剩下一個。

對比以下兩個係數:

相關係數Sxy/(√Sxx√Syy)由於存在Syy，所以自由度限制是2。

迴歸係數Sxy/Sxx中因無Syy，自由度限制是1。

2）相關係數的t檢驗，自由度也是n-2。原理不同，但自由度計算本質是等價的。

以下重點介紹t檢驗的自由度來歷。

所謂t檢驗就是與誤差標準差比較。t檢驗自由度也是指誤差標準差的自由度。

一般是與殘差標準差(或說y的波動中與x無關的部分)比較。因為x波動對映到y的波動上佔一個自由度(即一個關係式佔一個自由度），再加上t檢驗公式中包含有均值，所以殘差方差自由度為n-2。即t檢驗自由度為n-2。

從公式角度看，相關係數t檢驗的公式完全是由相關係數變換生成的，而相關係數被平方和(方差)、均值兩個樣本引數決定，即包含兩個自由度限制。

相關係數檢驗可以轉換成迴歸顯著性檢驗。檢驗的自由度指殘差自由度。一個迴歸自變數佔用一個自由度。所以殘差方差自由度n-2。

這裡涉及三個引數: 均值，平方和(方差)，迴歸係數(波動的對映)。

以上無論哪種相關係數自由度解釋，都是涉及其中幾個引數。實質是一回事。

所以相關係數所受的自由度限制與殘差是一樣的。因此兩者自由度也是一樣的。

以上都是假設y是因變數得出的結論。假設x是因變數結果也是一樣，因為相關係數公式中x與y是對稱的，可對換的。

如果x和y都是自變數的話，相關係數的自由度是對於資料對(x, y)而言的。

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