在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者透過計算可以求出數列的首項,公比),來求數列的通項公式。但實際上有些數列並不是等差、等比數列,給出數列的首項和遞推公式,要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據遞推公式構造出一個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。對於不同的遞推公式，我們當然可以採用不同的方法構造不同的型別的新數列。下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法：
一．利用倒數關係構造數列。
例如：中，若求a
+4,
即＝４，
｝是等差數列。
可以透過等差數列的通項公式求出,然再求後數列{a}的通項。
練習：1)數列{a}中，a≠0，且滿足求a
2)數列{a}中，求a通項公式。
3)數列{a}中,求a.
二．構造形如的數列。
例：正數數列{a}中，若
解：設
練習：已知正數數列{a}中，,
求數列{a}的通項公式。
三．構造形如的數列。
例：正數數列{a}中，若a=10,且求a.
解：由題意得：，
即
.
練習：（選自2002年高考上海卷）
數列{a}中，若a=3,,n是正整數，求數列{a}的通項公式。
四．構造形如的數列。
例：數列{a}中，若a=6,a=2a+1,求數列{a}的通項公式。
解：a+1=2a+2,即a+1=2（a+1）
設b=a+1,則b=2b
則數列{b}是等比數列，公比是2,首項b=a+1＝7,
，
構造此種數列，往往它的遞推公式形如：
。
如：a＝ca+d,設可化成a+x=c(a+x),
a=ca+(c-1)x
用待定係數法得： (c-1)x＝d
∴ x=.
又如：Ｓ+a=n+2,
則 Ｓ+a=n+1,
二式相減得：Ｓ－Ｓ+a－a=１，即a+a－a=１，
∴2a－a=１，
a=a+.
如上提到b=a＋d=a–1
練習：1.數列{a}滿足a=3a+2,求a
2.數列{a}滿足Ｓ+a=2n+1,求a
五．構造形如的數列。
例：數列{a}中，若a=１，a=3,a+4a-5a=0(nN),求a
解：a+4a-5a=0得：a－a=-5（a－a）
設b=a－a
則數列{b}是等比數列，公比是-5,首項b=a-a＝2,
∴a－a=2?(-5)
即a－a=2?(-5)
a－a=2?(-5)
以上各式相加得：a－a=2?［（-5）＋(-5)＋(-5)＋┄＋（-5）］
即：a－a=2?
，即，（n
當遞推公式中，a與a的係數相同時，我們可構造b=a－a然後用疊加法得：b+b+b+b+┄+b=a-a
透過求出數列｛b｝前n-1項和的方法，求出數列{a}的通項公式。
1)當遞推公式中形如:
a=a+an+b;a=a+q(q≠1);a=a+q+an+b等情形時，
可以構造b=a－a,得:b=an+b；b=q;b=q+an+b。
求出數列前n-1項的和T,
T=;
T=；
T=+
即：a－a=;
a－a=;
a－a=+
從而求出a=a+;
a=a+;
a=a++。
2）當遞推公式中形如:
a=a+；a=a+；a=a+等情形
可以構造b=a－a,得:：b=；b=；b=
即b=；b=；b=
從而求出求出數列前n-1項的和T,
T=；T=；T=
a－a=
a=a+
練習：1）數列{a}中，若a=1，a-a=2n,求通項a
2）數列{a}中，若a=1，a-a=2,求通項a
3)數列{a}中，若a=2，，求通項a
六．構造形如的形式。
例：數列{a}中，若a=1，，求a
解：由得：
∴，，，…
用累乘法把以上各式相乘得：
∴。
當遞推公式形如：；；等形式，我們可以構造。
可得:;;.
然後用疊乘法得：。
令數列{b}的前n-1項的積為A,則
；;
從而得到：；；
；；。
練習：1）數列{a}中，若a=2，，求a
七．構造形如的形式。
例：數列{a}中，a=2，S=4a+1，求a
解：S=4a+1，S=4a+1
二式相減：S-S=4a-4a
a=4a-4a
a-2a=2（a-a）
設b=a-2a
當遞推公式形如S=4a+2;a=pa+qa(p+q=1)等形式時，因a-2a=2(a-2a);a-a=(p-1)(a-a),
我們構造b=a-2a;b=a-a,
由等比數列知識得b=(a-a)·2;b=(a-a)·(p-1)
從而得到a=2a+(a-a)2;a=a(a-a)(1-q)
由型別四求出a。
總之，對於很多數列，我們都可以由遞推公式構造新數列的方法求出他們的通項公式。當然，在教學中我們應當充分調動學生的積極性，努力培養學生的創造能力，讓學生自己去構造，自己去探索，使學生親嚐到成功樂趣，激起他們強烈的求知慾和創造欲。
在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者透過計算可以求出數列的首項,公比),來求數列的通項公式。但實際上有些數列並不是等差、等比數列,給出數列的首項和遞推公式,要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據遞推公式構造出一個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。對於不同的遞推公式，我們當然可以採用不同的方法構造不同的型別的新數列。下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法：
一．利用倒數關係構造數列。
例如：中，若求a
+4,
即＝４，
｝是等差數列。
可以透過等差數列的通項公式求出,然再求後數列{a}的通項。
練習：1)數列{a}中，a≠0，且滿足求a
2)數列{a}中，求a通項公式。
3)數列{a}中,求a.
二．構造形如的數列。
例：正數數列{a}中，若
解：設
練習：已知正數數列{a}中，,
求數列{a}的通項公式。
三．構造形如的數列。
例：正數數列{a}中，若a=10,且求a.
解：由題意得：，
即
.
即
練習：（選自2002年高考上海卷）
數列{a}中，若a=3,,n是正整數，求數列{a}的通項公式。
四．構造形如的數列。
例：數列{a}中，若a=6,a=2a+1,求數列{a}的通項公式。
解：a+1=2a+2,即a+1=2（a+1）
設b=a+1,則b=2b
則數列{b}是等比數列，公比是2,首項b=a+1＝7,
，
構造此種數列，往往它的遞推公式形如：
。
如：a＝ca+d,設可化成a+x=c(a+x),
a=ca+(c-1)x
用待定係數法得： (c-1)x＝d
∴ x=.
又如：Ｓ+a=n+2,
則 Ｓ+a=n+1,
二式相減得：Ｓ－Ｓ+a－a=１，即a+a－a=１，
∴2a－a=１，
a=a+.
如上提到b=a＋d=a–1
練習：1.數列{a}滿足a=3a+2,求a
2.數列{a}滿足Ｓ+a=2n+1,求a
五．構造形如的數列。
例：數列{a}中，若a=１，a=3,a+4a-5a=0(nN),求a
解：a+4a-5a=0得：a－a=-5（a－a）
設b=a－a
則數列{b}是等比數列，公比是-5,首項b=a-a＝2,
∴a－a=2?(-5)
即a－a=2?(-5)
a－a=2?(-5)
a－a=2?(-5)
a－a=2?(-5)
以上各式相加得：a－a=2?［（-5）＋(-5)＋(-5)＋┄＋（-5）］
即：a－a=2?
，即，（n
當遞推公式中，a與a的係數相同時，我們可構造b=a－a然後用疊加法得：b+b+b+b+┄+b=a-a
透過求出數列｛b｝前n-1項和的方法，求出數列{a}的通項公式。
1)當遞推公式中形如:
a=a+an+b;a=a+q(q≠1);a=a+q+an+b等情形時，
可以構造b=a－a,得:b=an+b；b=q;b=q+an+b。
求出數列前n-1項的和T,
T=;
T=；
T=+
即：a－a=;
a－a=;
a－a=+
從而求出a=a+;
a=a+;
a=a++。
2）當遞推公式中形如:
a=a+；a=a+；a=a+等情形
可以構造b=a－a,得:：b=；b=；b=
即b=；b=；b=
從而求出求出數列前n-1項的和T,
T=；T=；T=
即：a－a=;
a－a=;
a－a=
從而求出a=a+;
a=a+;
a=a+
練習：1）數列{a}中，若a=1，a-a=2n,求通項a
2）數列{a}中，若a=1，a-a=2,求通項a
3)數列{a}中，若a=2，，求通項a
六．構造形如的形式。
例：數列{a}中，若a=1，，求a
解：由得：
∴，，，…
用累乘法把以上各式相乘得：
∴。
當遞推公式形如：；；等形式，我們可以構造。
可得:;;.
然後用疊乘法得：。
令數列{b}的前n-1項的積為A,則
；;
從而得到：；；
；；。
練習：1）數列{a}中，若a=2，，求a
七．構造形如的形式。
例：數列{a}中，a=2，S=4a+1，求a
解：S=4a+1，S=4a+1
二式相減：S-S=4a-4a
a=4a-4a
a-2a=2（a-a）
設b=a-2a
當遞推公式形如S=4a+2;a=pa+qa(p+q=1)等形式時，因a-2a=2(a-2a);a-a=(p-1)(a-a),
我們構造b=a-2a;b=a-a,
由等比數列知識得b=(a-a)·2;b=(a-a)·(p-1)
從而得到a=2a+(a-a)2;a=a(a-a)(1-q)
由型別四求出a。
總之，對於很多數列，我們都可以由遞推公式構造新數列的方法求出他們的通項公式。當然，在教學中我們應當充分調動學生的積極性，努力培養學生的創造能力，讓學生自己去構造，自己去探索，使學生親嚐到成功樂趣，激起他們強烈的求知慾和創造欲。