基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等,對非負數(即正數和0)還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除(除數不為零)、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方,結果仍是實數,只有非負實數,才能開偶次方其結果還是實數。
四則運算封閉性
實數集R對加、減、乘、除(除數不為零)四則運算具有封閉性,即任意兩個實數的和、差、積、商(除數不為零)仍然是實數。
有序性
實數集是有序的,即任意兩個實數a、b必定滿足並且只滿足下列三個關係之一:ab。
傳遞性
實數大小具有傳遞性,即若a>b,且b>c,則有a>c。
阿基米德性質
實數具有阿基米德性質(Archimedean property),即a,b ∈R,若a>0,則正整數n,na>b。
稠密性
實數集R具有稠密性,即兩個不相等的實數之間必有另一個實數,既有有理數,也有無理數.
數軸
如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點,指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規定為正方向),並規定一個單位長度,則稱此直線為數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點;反之,數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是,實數集R與數軸上的點有著一一對應的關係。
完備性
作為度量空間或一致空間,實數集合是個完備空間,它有以下性質:
一. 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。
有理數集合就不是完備空間。例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列,但沒有有理數極限。實際上,它有個實數極限。
實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。
二. “完備的有序域”
實數集合通常被描述為“完備的有序域”,這可以幾種解釋。
首先,有序域可以是完備格。然而,很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素(對任意元素z,z+1將更大)。所以,這裡的“完備”不是完備格的意思。
另外,有序域滿足戴德金完備性,這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這裡的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法,即從(有理數)有序域出發,透過標準的方法建立戴德金完備性。
這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而,有序群(域是種特殊的群)可以定義一致空間,而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。(這裡採用一致空間中的完備性概念,而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性,這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。)當然,R 並不是唯一的一致完備的有序域,但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上,“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明,任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的(當然反之亦然)。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法,即從(有理數)阿基米德域出發,透過標準的方法建立一致完備性。
“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的,他還想表達一些不同於上述的意思。他認為,實數構成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指,在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法,即從某個包含所有(超實數)有序域的純類出發,從其子域中找出最大的阿基米德域。
高階性質
實數集是不可數的,也就是說,實數的個數嚴格多於自然數的個數(儘管兩者都是無窮大)。這一點,可以透過康托爾對角線方法證明。實際上,實數集的勢為 2ω(請參見連續統的勢),即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數,絕大多數實數是超越數。實數集的子集中,不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合,這就是連續統假設。事實上這假設獨立於ZFC集合論,在ZFC集合論內既不能證明它,也不能推出其否定。
所有非負實數的平方根屬於R,但這對負數不成立。這表明R 上的序是由其代數結構確定的。而且,所有奇數次多項式至少有一個根屬於 R。這兩個性質使R成為實封閉域的最主要的例項。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。
實數集擁有一個規範的測度,即勒貝格測度。
實數集的上確界公理用到了實數集的子集,這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集:1. L鰓enheim–Skolem theorem定理說明,存在一個實數集的可數稠密子集,它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題;2. 超實數的集合遠遠大於 R,但也同樣滿足和 R一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容,在非標準模型中證明一階邏輯命題(可能比在R中證明要簡單一些),從而確定這些命題在R 中也成立。
拓撲性質
實數集構成一個度量空間:x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集,它也具有序拓撲。這裡,從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間(所以也是連通空間)、區域性緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以透過特定的性質來確定,例如,無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽:
i.令a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。
ii.R 是可分空間。
iii.Q 在 R 中處處稠密。
iv.R的開集是開區間的聯集。
v.R的緊子集是有界閉集。特別是:所有含端點的有限線段都是緊子集。
vi.每個R中的有界序列都有收斂子序列。
vii.R是連通且單連通的。
viii.R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質可迅速匯出中間值定理。
基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等,對非負數(即正數和0)還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除(除數不為零)、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方,結果仍是實數,只有非負實數,才能開偶次方其結果還是實數。
四則運算封閉性
實數集R對加、減、乘、除(除數不為零)四則運算具有封閉性,即任意兩個實數的和、差、積、商(除數不為零)仍然是實數。
有序性
實數集是有序的,即任意兩個實數a、b必定滿足並且只滿足下列三個關係之一:ab。
傳遞性
實數大小具有傳遞性,即若a>b,且b>c,則有a>c。
阿基米德性質
實數具有阿基米德性質(Archimedean property),即a,b ∈R,若a>0,則正整數n,na>b。
稠密性
實數集R具有稠密性,即兩個不相等的實數之間必有另一個實數,既有有理數,也有無理數.
數軸
如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點,指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規定為正方向),並規定一個單位長度,則稱此直線為數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點;反之,數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是,實數集R與數軸上的點有著一一對應的關係。
完備性
作為度量空間或一致空間,實數集合是個完備空間,它有以下性質:
一. 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。
有理數集合就不是完備空間。例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列,但沒有有理數極限。實際上,它有個實數極限。
實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。
二. “完備的有序域”
實數集合通常被描述為“完備的有序域”,這可以幾種解釋。
首先,有序域可以是完備格。然而,很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素(對任意元素z,z+1將更大)。所以,這裡的“完備”不是完備格的意思。
另外,有序域滿足戴德金完備性,這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這裡的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法,即從(有理數)有序域出發,透過標準的方法建立戴德金完備性。
這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而,有序群(域是種特殊的群)可以定義一致空間,而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。(這裡採用一致空間中的完備性概念,而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性,這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。)當然,R 並不是唯一的一致完備的有序域,但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上,“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明,任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的(當然反之亦然)。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法,即從(有理數)阿基米德域出發,透過標準的方法建立一致完備性。
“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的,他還想表達一些不同於上述的意思。他認為,實數構成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指,在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法,即從某個包含所有(超實數)有序域的純類出發,從其子域中找出最大的阿基米德域。
高階性質
實數集是不可數的,也就是說,實數的個數嚴格多於自然數的個數(儘管兩者都是無窮大)。這一點,可以透過康托爾對角線方法證明。實際上,實數集的勢為 2ω(請參見連續統的勢),即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數,絕大多數實數是超越數。實數集的子集中,不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合,這就是連續統假設。事實上這假設獨立於ZFC集合論,在ZFC集合論內既不能證明它,也不能推出其否定。
所有非負實數的平方根屬於R,但這對負數不成立。這表明R 上的序是由其代數結構確定的。而且,所有奇數次多項式至少有一個根屬於 R。這兩個性質使R成為實封閉域的最主要的例項。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。
實數集擁有一個規範的測度,即勒貝格測度。
實數集的上確界公理用到了實數集的子集,這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集:1. L鰓enheim–Skolem theorem定理說明,存在一個實數集的可數稠密子集,它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題;2. 超實數的集合遠遠大於 R,但也同樣滿足和 R一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容,在非標準模型中證明一階邏輯命題(可能比在R中證明要簡單一些),從而確定這些命題在R 中也成立。
拓撲性質
實數集構成一個度量空間:x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集,它也具有序拓撲。這裡,從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間(所以也是連通空間)、區域性緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以透過特定的性質來確定,例如,無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽:
i.令a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。
ii.R 是可分空間。
iii.Q 在 R 中處處稠密。
iv.R的開集是開區間的聯集。
v.R的緊子集是有界閉集。特別是:所有含端點的有限線段都是緊子集。
vi.每個R中的有界序列都有收斂子序列。
vii.R是連通且單連通的。
viii.R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質可迅速匯出中間值定理。