歐幾里得的《幾何原本》大約成書於公元前三世紀左右，它是用公理建立起演繹體系的最早典範。兩千多年來，它一直是人們學習演繹推理的權威教材。為了使平面幾何內容使教師易教和學生易學，遵循學生的認知規律，初中數學教材對《幾何原本》中的公理體系進行了教學處理，給出了一個弱化的公理體系，讓學生感受公理化思想。《幾何原本》中的公理體系與初中數學教材中的公理體系是不完全相同的。

《幾何原本》分為13卷，共465個命題，涉及平面幾何、立體幾何及數論等領域。第1卷給出了23條定義、5條公設和5條公理，這些定義、公設和公理就是《幾何原本》中的公理體系證明的出發點。

5條公設：

（1）由任意一點到另外任意一點可以畫直線。

（2）一條有限直線可以繼續延長。

（3）以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

（4）凡直角都彼此相等。

（5）同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。（與平行公理等價）

顯然第5公設與其他公設不同，它的行文較長，遠不是那種不證自明的真理。有證據表明，歐幾里得本人在《幾何原本》第1卷的演繹證明中一直盡力避免應用這一平行公設，在前28個命題的證明過程中，他對其他公設都運用自如，而唯獨一直沒有使用第5公設。

5條公理：

（1）等於同量的量彼此相等。

（2）等量加等量，其和仍相等。

（3）等量減等量，其差仍相等。

（4）彼此能重合的物體是全等的。

（5）整體大於部分。

公設是針對幾何的，公理更具一般性，不僅僅針對幾何。長期以來，人們認為公理4具有幾何特徵，應歸入公設的範圍。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》列出了9條基本事實作為初中數學教材中的公理體系證明的出發點（如下表）。之所以稱“基本事實”，而不稱公理，其原因在於9條基本事實中大部分都是《幾何原本》中的公理體系的定理；而且這9條基本事實也不具有公理體系所應具有的獨立性、相容性和完備性。《幾何原本》中的公理體系與初中數學教材中的公理體系證明的出發點如下表所示。

如S.S.S，初中數學教材把它作為基本事實，而《幾何原本》把它作為定理。為了證明該定理，歐幾里得採用了下列方法。

要證明三邊對應相等的△ABC和△A′B′C′全等，只需證明兩個三角形能完全重合，即只需把某一對應邊，例如BC和B′C′重疊，證明A與A′重合即可。如圖1所示，A與A′的情況只有下列4種情況：

（1）A和A′不包含在另一三角形中。

（2）A和A′之一在另一三角形內部。

（3）A和A′之一在另一三角形邊上。

（4）A和A′重合。

圖1

對於情況1，如圖2，連結A 和A′。因為△ABA′是等腰三角形，所以底角相等，即∠BAA′=∠BA′A。

由圖2可知∠CAA′＜∠BAA′＝∠BA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。由於CA=CA′，

所以∠CAA′=∠CA′A。於是矛盾，因此情況1不成立。

圖2

對於情況2，如圖3，分別延長BA、BA′至D、E。因為BA=BA′，所以∠BAA′=∠BA′A，所以∠DAA′=∠EA′A。

由圖3可知∠CAA′＜∠DAA′＝∠EA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。

由於CA=CA′，所以∠CAA′=∠CA′A。於是矛盾，因此情況2不成立。

圖3

對於情況3，顯然不成立。綜上，只有情況4成立，即A和A′重合。

在歐幾里得之後約500年（3世紀），一個叫費洛的幾何學家透過把兩個三角形如圖4放置，連結AA′，利用“等邊對等角”得出∠BAC=∠BA′C，再利用S.A.S（S.A.S是第1卷的第4個命題，S.S.S是第1卷的第8個命題）證明△ABC≌△A′B′C′。

圖4

初中數學教材作為基本事實的三角形全等的三條判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S，在《幾何原本》中都是定理，其中，S.A.S是第1卷的第4個命題，S.S.S是第1卷的第8個命題，A.S.A是第1卷的第26個命題。

在上述歐幾里得證明S.S.S的方法中，他用到“等邊對等角”這一等腰三角形的性質。在《幾何原本》中，“等邊對等角”是第1卷的第5個命題，排在作為第1卷第8個命題的S.S.S的前面，因此，歐幾里得用“等邊對等角”證明S.S.S是無可厚非的。這與初中數學教材的安排剛好相反，初中數學教材是在給出三角形全等的三條判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S後，用三角形全等的判定證明“等邊對等角”的（參見華東師大版初中數學教材八年級上冊第79頁）。

由於在《幾何原本》中S.A.S是第1卷的第4個命題，而“等邊對等角”是第1卷的第5個命題，因此歐幾里得運用S.A.S對“等邊對等角”給出的證明如下：

已知：如圖5，在△ABC中，AB=AC。

求證：∠B=∠C。

圖5

證明思路：如圖6，在BD任取一點F，在AE上擷取AG=AF，連結FC、GB。先運用A.S.A證明△AFC≌△AGB，得出∠ABG=∠ACF；再運用A.S.A證明△BCG≌△CBF，得出∠CBG=∠BCF。最後根據“等量減等量其差相等”得出∠ABC=∠ACB。

圖6

在歐幾里得之後約500年（3世紀），一個叫巴伯斯的人僅僅利用圖5，透過運用S.A.S證明△ABC≌△ACB，非常簡潔地得出了∠B=∠C。

由於歐幾里得的證明覆雜、難懂，這一定理以“笨人過不去的橋”著稱。之所以有此說法，一是因為歐幾里得的圖形有點像座橋；二是因為許多對幾何知識瞭解不深的學生都難於理解這一定理的證明，也就是無法跨過這座橋，進入《幾何原本》的其他部分的學習。

透過《幾何原本》和初中數學教材對這一定理的不同證明，我們感受到：如果初中數學教材嚴格按照《幾何原本》的公理體系呈現，對初中學生的學習顯然會帶來很大困難。因此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》對平面幾何內容的處理是適當的，既遵循了數學的發展規律，又遵循了教育和初中生認知發展的規律。

在教材編寫的風格上，問題更是嚴重，回顧歷史，18-19世紀是數學蓬勃發展的階段，那時的分析和代數教材演繹、歸納並重，教材編寫遵循從特殊到一般、從具體到抽象的認識規律，使初學者首先從直觀上認識數學內容的背景，然後上升到理性認識，

但是近幾十年來，特別是19世紀末到20世紀初，數學發展到所謂理性主義階段，寫書強調綜合統一、嚴格化、演繹法在數學中取得支配地位，最後，數學教材只反映演繹而無歸納了，近半個世紀以來，由於公理化的影響，尤其是現代形式主義的影響，公理化主義、純形式主義反映到數學中來，數學被逐步描述為公理化系統，應該承認，公理化思想是數學發展的一大進步，把數學知識整理成公理化系統，使其更有條理、更嚴密，是很有必要的，

作為教材，只持形式主義觀點固然可以訓練人的邏輯思維能力、卻難以培養學生靈活的創造、發明能力，應該演繹、歸納並重.

已故數學教育家徐利治教授發出，落後3個世紀的數學教材，中國數學的未來究竟在何方的感慨！現在數學教育的教材內容陳舊，教學方法古板，教學觀點偏於形式主義和機械，這是從宏觀的觀點說的，國外也如此，許多數學工作者認為，總的說來，現在初中、高中教材基本上是16-17世紀的產物，大學教材是18-19世紀的東西，大學生直到做畢業論文時才接觸20世紀的文獻，教材編寫數十年如一日，沒有什麼變化.

例如，中國高校現行微積分等教材基本上沿襲20世紀50年代向蘇聯學習時的那套傳統，雖經幾次改寫，還是三十四年前的東西，只是組織得更有條理、更嚴格、更形式化一些而已，但至今我們都沒有接觸流形的觀點，美國近20年來都開設“流形上的微積分”課，國外工程師都會運用這種流形分析工具，其實流形的觀點並不困難，而且用流形觀點講微積分反而簡化某些概念使其便於應用，中國近幾年開始注意這個問題，先後翻譯和出版了基本關於流形上的微積分方面的著作，上述固步自封的局面適應不了當代數學發展的需要，現在數學教育已經到了非革新不可的階段，

參考文獻：

李文革，《幾何原本》與初中數學教材中的公理體系

（1）經過人類長期反覆的實踐檢驗是真實的，不需要由其他判斷加以證明的命題和原理。如傳統形式邏輯三段論關於一類事物的全部是什麼或不是什麼，那麼這類事物中的部分也是什麼或不是什麼，也即如果對一類事物的全部有所斷定，那麼對它的部分也就有所斷定，便是公理。又如日常生活中人們所使用的“有生必有死”，也屬於這種不證自明的判斷。

（2）某個演繹系統的初始命題。這樣的命題在該系統內是不需要其他命題加以證明的，並且它們是推出該系統內其他命題的基本命題。