為比較好解釋這個問題和秩的概念，首先需要明白以下概念

向量空間，簡單來說就是指某一集合，集合元素在addition、scalar multiplication運算下封閉（代數結構），這個集合和其代數結構合為向量空間（這是定義，至於為什麼這樣定義，這是數學家對研究問題抽象的結果，比如對向量運算一般化或實數上的代數運算的推廣到一般集合，發現這種定義作為線性代數基礎最為合理）。線性變換，linear transformation，就是一種函式，將空間v的元素變換成m中對應的元素。但注意，這不是一般函式而是線性變換函式，變換滿足線性性質，addtion and scalar multiplication，3.線性變換的表示，如何表示這個T，矩陣表示，而且每個變換與矩陣一一對應（實際上由空間V到空間M所有變換組成的集合，依然是線性空間記作，這個空間的每個元素為一個變換函式，每個變換可以與一個矩陣對應；那麼所有的矩陣組成一個集合空間記作，這個矩陣構成的空間也是線性空間，它和是同態的（就是它們之間為一一對映關係），比如下面矩陣到底表達什麼意義，難道就是數字組成的表格嗎（當然也可以這麼看，word裡面二維表格）：實際上這個矩陣表達的是一個線性變換（矩陣與上面的T對應，為什變化函式可以寫成這種形式，這有嚴格證明，具體參考相關書籍），上面的具體表達的是4緯（4列）向3緯（3行）向量空間的線性轉換。既然空間的基就能夠唯一確定線性空間，給定一組基我就有一確定空間，假如上面矩陣表達的變換為, V是4緯的，基為(v1, v2, v3, v4), W為3緯，基為(w1,w2,w3)，那麼矩陣的每一列就是V中每一基到W元素的變換，如第1列：，既然我能把一個空間的基變換到另一空間中，實際上就是把整個空間所有元素都變換過去（可以類比二維座標系，座標系為基，我把座標系變換，如平移旋轉，和我一個個將原座標系的點一個個變換過去實際是一樣的）下面給出形式化表示：定義線性變換為n緯空間，其基為表示為，為m緯空間，其基表示為，變換對應的矩陣記作。那麼對中一元素,，如的變換定義為顯然的基為，的基為,根據上面變換T(1,0,0)=(1,0)=0(0,1)+1(1,0)T(0,1,0)=(0,1)=1(0,1)+0(1,0)T(0,0,1)=(1,1)=1(0,1)+1(1,0)那麼變換矩陣這個矩陣表示了基的變換。 注：空間緯度指的是該空間基（互相獨立）的個數，該空間任意一元素都可以有該基線性組合表示，如三維空間就是一個線性空間，其緯度為3，該空間每個元素為一個3-tuple，即三維點v=(x,y,z)為其一元素，它都最簡單基為：v1=(1,0,0),v2=(0,1,0),v3=(0,0,1)，任意一元素都可以表達成, v1,v2,v3互相獨立，如果再在基中加入一個元素，也可以這樣組合表達任意一元素，但明顯不是線性獨立點。也就是說基是從向量空間中選取的一組元素，這些元素互相獨立且能透過線性組合表達空間任意一元素，基是最小的獨立點元素集合，多一個不行少一個不行。上文說了矩陣是用來表示線性變換的，如上面所舉例的矩陣，那麼是不是任意的矩陣都可以表示為變換呢？還是上面的4緯向3緯變換，下面兩個矩陣（第二列作了改變）能表達這種變換嗎？第一個矩陣，第2列和第1列是倍數關係，如果按照上面的基變換的理解，那麼這個矩陣前兩列表達為：v2=2v1，實際上變換中，空間V的(v1, v2, v3, v4)並不是其基，因為並不獨立，所以這個矩陣不能表達4緯到3緯到變換，這個矩陣剔除掉多餘的列，1和2任意列後實際表達的是3緯到3緯到變換，4緯空間V的3緯子空間到W的變換（比如三緯立體空間中的任意一平面所形成的空間是該三緯空間的子空間，但緯度超過3緯，就沒有直觀視覺化的感受，但基本原理都一樣，哪怕1000緯空間）第二個矩陣，第二列為0，顯然是多餘的，按照上面分析，即v2是0，0元素肯定不是基中的而且0元素怎麼變換都是另外一個空間的0元素，即,注意這裡0不是數字0，前面一個0表示（0,0,0,0)後面一個0表示(0,0,0)。所以第二列還是多餘的，需剔除後還是與上面一樣，3緯子空間到三緯空間的變換那麼：這兩個例子的作用表明，如果從嚴格定義的基變換來看，不是任何矩陣都可以表達線性變換，其需要滿足矩陣每列是線性獨立的，即任意一列不能表達為你其他列的組合（包括倍數，0）。但如果把子空間也考慮進去，其實所有矩陣都是可以表示為線性變換，但有些矩陣表達某一變換時可能出現冗餘，多餘的行和列。4.秩(rank)，最後討論秩是什麼?秩是怎麼定義的？顯然，題主的提問中也表明秩是和矩陣有關的，秩為什麼等於矩陣非零行數？那麼到底什麼是秩？同濟大學版的《線性代數》中關於秩的解釋是：任何矩陣透過初等變換行變換或者列變換後與原矩陣是等價矩陣，且任意一個矩陣均可透過初等變換轉化為標準型F 該矩陣的秩就是這個數r，顯然從某種程度上回答了你的問題，因為F與原矩陣等價。該書中進步嚴格定義什麼秩：在矩陣中任取k行k列形成k階子式，那麼該矩陣中的r階子式不等於0，且所有r+1階子式全為0，那麼r就是該矩陣的秩。又接著敘述n階矩陣其對應的行列式不為0時，其秩為n，則該方陣為滿秩矩陣也可稱可逆矩陣、非奇異矩陣non-sigular，三者是等價的（當然了只有方陣才可能是可逆的，其實線上性代數中，可逆矩陣相對於一般矩陣而言具有良好的性質）。。談到這裡，對於初接觸線性代數的人來說，我相信肯定會蒙逼，WTF，你憑什麼強行這樣定義，也沒解釋秩到底是什麼意義，雖然定義看上去嚴謹但實在讓人難以吃的消，哪怕是數學專業的學生。說實話這樣定義，我也搞不懂。同濟大學的線代的教材說實話編的不是很好。線性代數核心是研究線性空間上的線性變換，什麼其他的行列式、解方程組、特證向量等概念引入和具體應用都是圍繞其核心，所以行列式其實是在研究線性變換中引入一個概念，可以方便表述，雖然線性代數是從線性方程組求解過程啟發、抽象而來，但其求解只是線代的一個應用而已。那麼秩到底怎麼解釋？這與前面所介紹的線性變換有關，首先秩肯定是矩陣的秩，前面說到任意一矩陣其實表示的是一個線性變換（函式），所以秩是描述這個函式變換某方面的特性（比如初中學的實域上的一元函式可以描述它的奇偶性）而且這個特性是定量化的描述，秩rank是一個具體的值。矩陣是一個線性變換函式，這就是矩陣的實質，矩陣實際上表達的是個動態概念（變換），而線性空間是靜態概念（滿足加法和量乘代數結構元素的集合），透過變換將一個空間中的元素變換到另一個空間中對於線性變換 定義T的零空間和變換的值域（姑且這麼稱呼）空間，那麼變換的秩rank(T)為rang(T)的緯度，即而且有定理：零空間：原始空間V中某些元素組成的空間，這些元素在變換下都會變成0值空間：原始空間中除去零空間中的元素後剩下的元素，在變換下不會變為0，而這些元素變換後的元素組成了值空間。秩：矩陣的秩，即變換的秩是為值空間的緯度。根據上面的定理：如果原始空間為10緯，變換的零空間有3緯，那麼該變換的秩為7。如何從意義上理解秩，我是這麼認為的，秩表達的是變換保留原始資訊的尺度，秩越高資訊保留的越多，如原始10緯空間中，零空間為10緯（變換矩陣緯0矩陣時），即空間中任何元素變換後都為0，那麼這種變換後將原來的10個維度的資訊給退化成0緯，都為0，無任何訊息；如果變換矩陣為單位矩陣，等於無任何資訊損失。所謂的降秩，就是降低原始空間變換後所得空間的緯度，就是把原始空間某些元素變成0。直觀化理解：考慮3緯空間到2緯空間的變換，顯然這個變換的秩為2，dim V=3, dim(rang T) =2, dim(null T)=1,所以3緯空間中某條過原點的直線上的點全部變換成了0，該直線外的點全部變換到了某平面。綜上所訴：矩陣的秩表示該矩陣所表示的變換資訊有效緯度（非要弄個好理解的意義，我也解釋不大清楚了）高緯空間向低緯變換，肯定有資訊損失，跑到0去了，低緯向高緯變換，資訊不會增加，實際變換過去的還是原來空間的資訊，如3緯向100緯空間變換，假設你的變換隻將原空間的0變換成0,即dim null=0，其他的變換為非0，那麼變換後的空間不可能是100緯度，實際上還是3緯空間，它是100緯空間的子空間，因為dim rang T<=dim V,所以再怎麼變換都不可能超過原始空間的緯度。對於矩陣其秩為什麼是非零行數？一個m*n的矩陣，是n緯空間向m緯空間轉換。對於用矩陣描述基變換來說，是不可能出現某行或列為0的情況，因為出現某行為0，這改行對應的目標空間的某個基向量不起作用，這是不可能出先的，因為少了某個基向量，剩下的基向量根本就不是表示該空間，只是該空間的某個子空間即m-1緯空間，表示n緯空間向m-1緯空間的變換；同理，某個列為0，則該列對應的原空間某個基向量也不起作用，表示的是n-1緯子空間向m緯空間的變換。列數表示的是原始空間緯數n，行數表示目標空間緯數m，變換矩陣各列和各行都是對應的基，所以都是獨立的，不能透過初等變換變成0，但對於隨意給的一個矩陣就不能保證了，如果初等變換後出現某列為0或者某行為0，則這個變換不是原空間的變換，而是原空間中子空間的變換。所以初等變換後，非零的列為原空間的子空間基，非零的行為目標空間的子空間基。變換後的非零行是小於等於非零列的，秩為非零行，當非零行小於非零列時，差值為你0空間的緯度。（鑑於時間和我理解關係，後面的解釋寫的比較倉促，比較雜亂，講述不是很清楚；另外由於是我首次知乎回答問題，語文水平稀爛有待改進，如果有任何疑問歡迎交流溝通）