此題應該是用1，2，3三個數字能夠組成最大數是多少？那麼這三個數怎麼組成才能最大呢？首先列出這些數字怎麼排列或者組成，然後再分析到底哪個數是最大的？經分析2^31＞3^21，2的31次方為最大！

可以補充一個數學符號的情況下，應該是

（3的21次冪）!最大了吧！

下面我們來理一理除了加和、乘積外，還有哪些方式或數學符號可以使數字變大呢？

（1）次冪

次冪又稱乘方，表示一個數自乘若干次。次冪無疑可以使數字幾何倍數變化。最有名的是每天增加一倍的故事。計算得到2的31次冪為2​147​483​648；3的21次冪為10460353203；後者更大。

不過，既然可以藉助一個數學符號，我們還可以開動腦筋，打一打e的主意

e在數學中是代表一個數的符號。e是自然對數的底數，是一個無限不迴圈小數，其值是2.71828...。e的321次方是多少呢？計算器這樣回答的：

2.5617……×10的139次方（2.5617E139）！

當然，數學中還有一個特殊符號派，派的321次方有3.84……×10的159次方呢（約3.84688E159）！

（2）科學記數法

生活工作中，我們要標記或運算一個超級大或者超級小而且位數比較多的數時，用科學記數法就可以省去很多空間和時間。

科學記數法，就是指把一個數表示成a×10的n次冪的形式（1≤a<10，n 為正整數。)，即a×10^b（aEb），E是數學上用來做科學計數法的符號。比如

3000000×600000=1800000000000

3E6×6E5=1.8E12

所以E321是不是也算一個超級大的數字？記不清E前的a如果為1時能不能省略了，如果不能省略，1E32就縮水很多了！

（3）階乘

階乘是基斯頓·卡曼於 1808 年發明的數學運算子號，一個正整數的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積。所以這個數字越大，其放大效果越顯著。百度告訴我：

321!≈6.79×10^666！

不知道3的21次冪的階乘是多少呢？

E3的21次冪呢？

根據25!=1.5511210043331 ×10^25≈E25，此後，階乘貌似更強悍判斷：

（3的21次冪）！應該更大些！✌✌✌

不知還能不能組合出更大的數字呢？

次方就最大了？怕是你們沒聽過葛立恆數吧。

高德納箭號表示法是種用來表示很大的整數的方法，由高德納於1976年設計。它的意念來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法。n個箭頭代表（n+2）級超運算，如4↑↑2=4-超4運算-2=256。

定義

計算 一個箭頭

2↑3=2×2×2=8

2↑4=2×2×2×2=16

3↑3=3×3×3=27

a↑b= a^b

兩個箭頭

2↑↑3=2↑2↑2（注意：此處要從右往左計算）=2↑4=16

3↑↑3=3↑3↑3=3↑27= =7625597484987 4↑↑3=4↑4↑4=4↑256≈ 1.34*10^154

a↑↑b= a↑↑b

三個箭頭 2↑↑↑3=2↑↑2↑↑2=2↑↑2↑2=2↑↑4=2↑2↑2↑2=2↑2↑4=2↑16=65536

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3^3^3^3……（7625597484987個3） a↑↑↑b=

葛立恆數

定義見下

首先來看最下面，是g1=3↑↑↑↑3，就是3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑（3↑↑3↑↑3） 而3↑↑3↑↑3本來就是由7625597484987個3組成的指數塔了，地球到太陽的距離是 1.496*10^13釐米，也就是說如果把這個指數塔每隔2釐米寫下來，可以從地球一直寫到太陽。 那麼g1=3↑↑↑B=3↑↑3↑↑3↑↑3……（有B個3）。 大家已經知道，僅僅4個↑就已經搞出一個大得不可理喻的數字了，那麼現在我們來看一下葛立恆數的第二層，也就是3↑↑↑↑3上面那一層： g2=3↑↑↑……↑3，有g1個箭頭，注意，不是g1個3，不是g1層指數塔，甚至不是g1個指數塔層的指數塔，而是g1個箭頭！！箭頭！！簡直有種美漫開掛不打草稿的感覺...... 葛立恆數總共有64層，每一層中的箭頭個數都由前一層得出。所以葛立恆數簡單說來就是一個指數塔的指數塔的箭頭塔...吧... 總之只可意會不可言傳... 那麼葛立恆數到底有多大呢？沒人知道，也沒人知道這個數有多少位數字，甚至也沒人知道葛立恆的位數的位數有多少位數（此處有阿伏伽德羅常數個“位數”）...我們只知道它的後幾百位數，其中末位數是7. ，葛立恆數秒天秒地~當然首先你得解釋得清咯...

所以答案就是：3↑···↑（1+2）

123組成的最大數是 3^21 次冪 。

（補充數學符號範圍不限，但是次數只能一次，無限階乘這種就算了）

在解決實際問題時, 如何選擇函式模型?

我們知道：

一次函式：

圖象為直線, 有單增單減兩種情況。

二次函式：

圖象為拋物線, 有增減兩區間。

指數函式：

圖象為過定點的曲線, 有單增單減兩種情況 。

對數函式：

圖象為過定點的曲線, 有單增單減兩種情況 。

冪函式：

圖象為直線或曲線, 正指數冪在 [0, +∞) 上是增函式。

那麼如何選擇函式模型來刻畫實際問題, 我們舉例說明。

例如：某人有一筆資金用於投資, 現有三種投資方案供選擇, 這三種投資方案的回報如下:

方案一: 每天回報40元;

方案二: 第一天回報10元, 以後每天比前一天多回報10元;

方案三: 第一天回報0.4元, 以後每天回報比前一天翻一番.

請問: 選擇哪種投資方案收益最好?

設第 x 天所得回報為 y 元,

方案一: y=40 (x∈N*),

方案二：y = 10x (x∈N*),

方案三：y=0.4×2^(x-1) (x∈N*),

畫圖象觀察.

三種方案中, 方案一無增長,增長最快的是方案三,

若投資5天以下, 方案一的每天收益最大;

若投資5~8天,方案二的每天收益最大;

若投資8天以上, 方案三最好。

應用函式的圖象, 透過分析函式的增長速度, 函式的值域等來選擇函式模型。

在這些函式中增長最快的是指數函式, 增長最慢的是對數函式, 常函式沒有增長。

現在在來回答：“123組成的最大數是多少？”

首先選取函式模型 ： 指數函式 y = a^x （a > 1）;

底數選 2 時 ， y1 = 2^31 ；

底數選 3 時 ， y2 = 3^21 ;

現在來比較 y1 和 y2 的大小關係 （即 2^31 和 3^21的大小）

y1 和 y2 取以 10 為底的對數 ：

lg( y1) = 1g( 2^31 ) = 31lg2 ;

lg( y2) = 1g( 3^21 ) = 21lg3 ;

∵ lg2 ≈ 0.3 , lg3 ≈ 0.477 ;

∴ 31lg2 ≈ 9.3 , 21lg3 ≈ 10.0

∴ 31lg2 < 21lg3

∴ y1 < y2

∴ 2^31 < 3^21

綜上： 123組合的最大數是 3^21 次冪 。

（補充數學符號範圍不限，但是次數只能一次，無限階乘這種就算了。）

注意審題：

①只能補一個數學符號；

②無窮、階乘符號這種不能補，不符合題意。

2^31與3^21哪個大？

2×2^30與3×3^20

2×8^10與3×9^10

可以考慮葛立恆數或者tree(3)的表示法。

人類已知有一個數極端之大，大到以至於難以想象的地步。有這麼一個說法：“如果試圖去想象這個數字有多大，你的腦袋會塌縮成一個黑洞”。當然，這是十分誇張的說法，如果人的腦袋能坍縮成黑洞，地球將不復存在，而會被黑洞所吞噬。事實上，不要說人的腦袋，就連質量相當大的太陽也無法自發地坍縮成黑洞。之所以會有這樣誇張的說法，完全是因為這個數字實在是大到無法形容的地步。

這個能夠讓人絞盡腦汁的數就是葛立恆數，它最初被認為是一個數學難題的上限解。這個數極其巨大，比我們所接觸到的任何數都要大得多，以至於我們無法使用常規的形式來表達它。

可以考慮葛立恆數或者tree(3)的表示法，底數是2，指數是31的階乘，求冪31的階乘等於：8.22283865417792281772556288E33，約等於8.223*10^33，這個數只是2的指數，以2為底，這個天文數空為指數裸的冪絕對宇宙的電子數還要多。