1、霍奇猜想（Hodge conjecture）：
二十世紀的數學家們發現了研究複雜物件的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定物件的形狀透過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。
這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的物件進行分類時取得巨大的進展。
不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。
霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間型別來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
2、龐加萊猜想（Poincaré conjecture）：
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。
另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。
我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，法國數學家龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。
3、黎曼假設：
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純粹數學及應用數學中都起著重要作用。
在所有自然數中，素數分佈似乎並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於所謂的黎曼ζ函式。
黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的非平凡零點的實部都是1/2，即位於直線1/2 + ti（“臨界線”，critical line）上。這點已經對於開首的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立，將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。
4、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口：
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和羅伯特·米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何物件的數學之間的令人注目的關係。
基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程，並沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。
擴充套件資料：
周氏猜測：
當2^（2^n）
周海中還據此作出推論：當p
關於梅森素數的分佈研究，英國數學家香克斯、德國數學家伯利哈特、印度數學家拉曼紐楊和美國數學家吉里斯等曾分別提出過猜測，但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表示式提出；而它們與實際情況的接近程度均難如人意。
唯有周氏猜測是以精確表示式提出，而且頗具數學美。這一猜測至今未被證明或反證，已成了著名的數學難題。
美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。
參考資料：
1、霍奇猜想（Hodge conjecture）：
二十世紀的數學家們發現了研究複雜物件的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定物件的形狀透過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。
這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的物件進行分類時取得巨大的進展。
不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。
霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間型別來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
2、龐加萊猜想（Poincaré conjecture）：
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。
另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。
我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，法國數學家龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。
3、黎曼假設：
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純粹數學及應用數學中都起著重要作用。
在所有自然數中，素數分佈似乎並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於所謂的黎曼ζ函式。
黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的非平凡零點的實部都是1/2，即位於直線1/2 + ti（“臨界線”，critical line）上。這點已經對於開首的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立，將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。
4、楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口：
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和羅伯特·米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何物件的數學之間的令人注目的關係。
基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程，並沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。
擴充套件資料：
周氏猜測：
當2^（2^n）
周海中還據此作出推論：當p
關於梅森素數的分佈研究，英國數學家香克斯、德國數學家伯利哈特、印度數學家拉曼紐楊和美國數學家吉里斯等曾分別提出過猜測，但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表示式提出；而它們與實際情況的接近程度均難如人意。
唯有周氏猜測是以精確表示式提出，而且頗具數學美。這一猜測至今未被證明或反證，已成了著名的數學難題。
美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。
參考資料：