代數拓撲在物理中的應用一般都很淺，大多數情況只是使用到概念層面，很少用到代數拓撲深刻的定理。常見的概念有同倫群，同調群和上同調群。在場論中，這三個概念有各自常用的使用語境。同倫群：常見於刻畫規範場位形的拓撲結構，最常見的就是刻畫球面、環面或者歐幾里得空間上的向量叢的拓撲。比如渦旋、瞬子的等價類對應 和的向量叢等價類，分別用 和來刻畫。纖維叢的同倫恰當序列也常用於計算一些比較難算的同倫群，比如的高維同倫群。又如上規範反常的存在性可以歸結為“無窮維規範變換群的基本群是否平凡”。同調群：同調群用得相對較少，用的時候也通常只用來表徵目標流形有多少洞，或者對某些幾何物件進行分類討論。有了洞，就可以討論非平凡的拓撲荷（拓撲通量）。比如的，就可以討論磁單極子的整數磁通量，或者電荷慈磁荷量子化。利用奇異同調群與 Cech 上同調的關係，還可以用奇異同調群、Cech 上同調來分類流形上的線叢，或者更復雜的 gerbe（高階線叢）。Gerbe 在物理中出現在一般的 2d有 H-flux 的非線性 Sigma 模型，target space 受超對稱數量要求具有 Bi-hermitian 結構，從而 target space 上定義了一個 gerbe。在2維拓撲非線性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世介面到目標流形的全純對映。由於世介面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各種不同的拓撲不等價的對映。刻畫這些拓撲不等價的對映，就用對映所屬同調類。上同調群：物理中用得最多的代數拓撲物件。1）規範場中，刻畫相應向量叢的拓撲通常是會用示性類，這些示性類都是空間流形上的上同調類。比如計算尤拉示性數用尤拉類，瞬子數用陳特性，渦旋數用第一陳類。2）2維拓撲 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代數對應到目標流形的 de Rham 上同調，或者，超對稱算符，,變成外微分運算元，Dolbeault 算符，BPS 算符的關聯函式變成目標流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 則是聯絡 Mirror-對偶的 Calabi-Yau 目標流形對應的 A-twist 和 B-twist 模型，兩個目標流形有對調的上同調群。3）許多時候物理問題需要研究某些算符的上同調群。最常見就是超對稱量子力學中超對稱算符的上同調群，這個上同調群的生成元與系統的基態（即的調和態）一一對應。算符的 Witten index 定義為復形的尤拉示性數，是超對稱物理中比較重要的數。指標定理：作為重要的計算工具，指標定理也出現在不少物理問題中（當然本質上都是數學家早就熟知的數學問題）。1）比如計算某些帶拓撲荷的規範場位形的模空間，包括渦旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓撲弦中黎曼曲面的復結構模空間維度；2）計算各類反常，比如手徵反常，規範反常使用 Dirac 運算元的指標；3）有時某些算符的指標直接就是計算目標，比如 Witten index 4）有時需要計算算符的superdeterminant，可以找與之交換的微分算符 ，並透過計算的（等變）指標來獲得的波色、費米本徵譜之間的不完全抵消關係，然後寫下superdeterminant
代數拓撲在物理中的應用一般都很淺，大多數情況只是使用到概念層面，很少用到代數拓撲深刻的定理。常見的概念有同倫群，同調群和上同調群。在場論中，這三個概念有各自常用的使用語境。同倫群：常見於刻畫規範場位形的拓撲結構，最常見的就是刻畫球面、環面或者歐幾里得空間上的向量叢的拓撲。比如渦旋、瞬子的等價類對應 和的向量叢等價類，分別用 和來刻畫。纖維叢的同倫恰當序列也常用於計算一些比較難算的同倫群，比如的高維同倫群。又如上規範反常的存在性可以歸結為“無窮維規範變換群的基本群是否平凡”。同調群：同調群用得相對較少，用的時候也通常只用來表徵目標流形有多少洞，或者對某些幾何物件進行分類討論。有了洞，就可以討論非平凡的拓撲荷（拓撲通量）。比如的，就可以討論磁單極子的整數磁通量，或者電荷慈磁荷量子化。利用奇異同調群與 Cech 上同調的關係，還可以用奇異同調群、Cech 上同調來分類流形上的線叢，或者更復雜的 gerbe（高階線叢）。Gerbe 在物理中出現在一般的 2d有 H-flux 的非線性 Sigma 模型，target space 受超對稱數量要求具有 Bi-hermitian 結構，從而 target space 上定義了一個 gerbe。在2維拓撲非線性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世介面到目標流形的全純對映。由於世介面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各種不同的拓撲不等價的對映。刻畫這些拓撲不等價的對映，就用對映所屬同調類。上同調群：物理中用得最多的代數拓撲物件。1）規範場中，刻畫相應向量叢的拓撲通常是會用示性類，這些示性類都是空間流形上的上同調類。比如計算尤拉示性數用尤拉類，瞬子數用陳特性，渦旋數用第一陳類。2）2維拓撲 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代數對應到目標流形的 de Rham 上同調，或者，超對稱算符，,變成外微分運算元，Dolbeault 算符，BPS 算符的關聯函式變成目標流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 則是聯絡 Mirror-對偶的 Calabi-Yau 目標流形對應的 A-twist 和 B-twist 模型，兩個目標流形有對調的上同調群。3）許多時候物理問題需要研究某些算符的上同調群。最常見就是超對稱量子力學中超對稱算符的上同調群，這個上同調群的生成元與系統的基態（即的調和態）一一對應。算符的 Witten index 定義為復形的尤拉示性數，是超對稱物理中比較重要的數。指標定理：作為重要的計算工具，指標定理也出現在不少物理問題中（當然本質上都是數學家早就熟知的數學問題）。1）比如計算某些帶拓撲荷的規範場位形的模空間，包括渦旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓撲弦中黎曼曲面的復結構模空間維度；2）計算各類反常，比如手徵反常，規範反常使用 Dirac 運算元的指標；3）有時某些算符的指標直接就是計算目標，比如 Witten index 4）有時需要計算算符的superdeterminant，可以找與之交換的微分算符 ，並透過計算的（等變）指標來獲得的波色、費米本徵譜之間的不完全抵消關係，然後寫下superdeterminant