高數中的有界無界指的是函式的定義域和值域可取的範圍。如果對屬於某一區間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關的常數，那麼我們就稱f(x)在區間I有界，否則便稱無界.

比如說是y=arctanx，它在整個實數定義域上有界。你可以很形象地找到兩個界限，一個是y=π/2，一個是y=-π/2，所有函式值超不過這個範圍如果一個函式有最小值和最大值，那麼肯定是有界。最大值和最小值就是界。無界函式最形象的是y=tanx，當x趨近於π/2時，函式值趨近於無窮大。

定義1：

如果對於任意給定的正數M，都存在δ>0(或正數X)，

使當0X)時，

“恆有”|f(x)| > M，則稱f(x)是x→x0(或x—∞)時的“無窮大量”

.定義2：

如果對於任意給定的正數M，都存在函式定義域中的一點x* ，使|f(x*)| ≥M，則稱，f(x)是“無界變數”．

由上述定義可知，如果f(x)是x→x0(或x—∞)時的無窮大量，則f(x)必是無界變數，

反過來，無界變數卻不一定是無窮大量.

舉例說明：

例如1：數列

1， 1/2， 3， 1/4， ………… ，2n一1， 1/(2n)…………

是無界數列，但卻不是無窮大量．

無窮大量要求對任給正數M，數列自某項之後將 均 滿足| xn | > M．

顯然，上面數列中的偶數項不能滿足這一要求．-----------這個才是重點

例如2：變數 x sinx 是無界變數，這是因為對於任意的正數M，都存在

x=π/2 *(2[M取整]+1)＝0.5π + [M取整]π，

使| x * sin (x) |＝[M取整]十π/2 > M

但是，xsinx不是x的任何變化過程中的無窮大量．------------注意是“任何變化過程中”

無論對於某一點x0，因為對任意的x0，x→x0時，極限總不會→∞吧！

也無論是對於x→∞，因為對任意的正數X，都存在一些特殊點x = nπ> X (只要n > X/π)，使得總是有f(x)=xsinx=0．

****************** 總結 ************

無窮大(量)是指在變數的某種趨向下，對應的函式值的變化趨勢，其絕對值無限增大，要求適合給定不等式0 M 的“一切”x都要滿足 f(x)大於 任給的正數M；而無界函式定義中的不等式f(x)大於M，只要求在 | |中 有一個x滿足即可，並不要所有的I都滿足．

它們之間的聯絡是：如果f(x)是無窮大，則f(x)必定無界．反之f(x)無界時，卻不一定是無窮大------這傢伙要求很高的．