我來說一個偏門的理解方式。

先從向量點乘開始說起吧。我們都知道向量A(x1,y1)點乘向量B(x2,y2)，應該寫成x1x2+y1y2。換個角度來看，向量A還是向量A，而向量B可以理解成一個1*2的矩陣。向量點乘的結果是一個數，而這個數可以理解成是一個一維向量C(x1x2+y1y2)。

向量點乘其實就是找出一個向量在另一個向量上的投影，然後進行伸縮。把向量點乘的幾何意義和矩陣乘法結合起來看就會發現，矩陣描述的其實是空間中點的位置變化，這種位置變化甚至可以跨維度。上面的例子當中，1*2的矩陣描述的就是從二維空間到一維空間的位置變化。線上性代數里面我們用一個更漂亮的詞來代替“位置變化”這種含糊的描述，叫做“線性變換”。

可能有人會疑惑，這個說法能不能推而廣之?答案是肯定的。通常情況下，三維向量乘以2*3的矩陣得到的就是二維向量，那麼這個2*3的矩陣描述的就是一個從三維空間到二維空間的線性變換。是不是n*m的矩陣描述的就是從m維空間到n維空間的線性變換呢?

錯!

舉個例子吧。通常情況下，二維向量乘以3*2的矩陣會得到三維向量，那麼三維向量不是應該表示三維空間中的點嗎?乍一看好像是這麼回事。但是如果你拿出來無數個二維向量與這個3*2矩陣相乘，得到無數個三維向量，你就會發現你得到的所有的三維向量全部分佈在空間中的某一個平面上。也就是說這個3*2的矩陣所描述的線性變換其實根本就沒有跨維度。二維向量經過該線性變換之後還是二維向量，只不過是另一個二維空間的二維向量罷了。其他情況也是同理，矩陣描述的線性變換隻能在同一維度或者從高維到低維，永遠不可能從低維到高維。

還有更極端的情況。某個3*2的矩陣，當你拿出無數個二維向量和它相乘，得到無數個“三維向量”，但是所有的向量都分佈在一條直線上。也就是說這個矩陣看似描述的是二維到二維(前面說過，不可能升維度)的線性變換，其實描述的是從二維到一維的線性變換。

先來看看矩陣向量乘法。矩陣A乘以向量x得到向量y，用數學形式表達就是Ax=y。剛剛我們說過矩陣代表的是線性變換，x經過矩陣A所表示的線性變換就會變成y。但是矩陣還有另一種理解方式，那就是矩陣描述的就是一個完整的空間。

在描述空間的時候，座標系必不可少。而座標系的建立方法並不止一種，比如說直角座標系和極座標系。如果我們把直角座標系和極座標系的原點重合，然後同時去測量空間中的某一點，就會得到兩種不同的表達方式。一個點在直角座標系下和極座標系下看起來必然不同，但他們本質上是同一個點，只是表現形式不一樣罷了。

有了這個概念再來看矩陣向量乘法。Ax=y可以寫成Ax=Ey，也就是說x和y兩個向量其實是同一個向量，只是我們在不同的空間下觀察所以描述形式不一樣罷了。x是在矩陣A所表示的空間下測量出來的，而y是在單位矩陣E所表示的空間下測量出來的。

既然矩陣既可以表示運動，又可以表示空間。那麼秩當然也有兩種理解方式，當矩陣表示空間的時候，秩表示的就是這個空間的維度。這種理解方式可以通俗地理解並記住線性代數中的很多概念和定理，比如說線性方程組的解。

常見的線性方程組是這樣的：

A是矩陣，x和b都是向量。A、E和b都是已知量，求x。我們把A叫做係數矩陣，把A和b合起來叫做增廣矩陣。線性方程組的解就和這兩個矩陣秩的關係有關。

1、係數矩陣的秩若小於增廣矩陣，則該方程組無解。

2、係數矩陣的秩若等於增廣矩陣，且等於n（方程組元數），則方程組有唯一解。

3、係數矩陣的秩若等於增廣矩陣，且小於n，則方程組有無數解。

要理解這個定理我們要先將方程組Ax=b拓展成Ax=Eb的形式。之前提到過，x和b應該是同一個向量，只是因為觀測空間不同而導致形式不同而已。方程組的解的問題就可以轉換成在矩陣A所表示的空間中，是否存在一個向量能表示單位矩陣E中的b向量。

為什麼係數矩陣的秩若小於增廣矩陣，則該方程組無解呢？答案就是低維空間找不到一個向量x可以表示高維空間的向量b。

有解的情況是係數矩陣的秩和增廣矩陣相同，區別就在於秩的大小是等於n還是小於n。這也很容易理解，向量b如果想要能夠被矩陣空間A表示，就不能維度太高，至少要小於等於矩陣空間A的維度。因為高維空間能夠表示低維空間的向量，反之則不行。

那麼為什麼解的數量又和n有關呢？如果係數矩陣的秩等於n的話，那麼空間中一個向量只能有一種表示方法，就算觀察這個向量的矩陣空間發生了變化，但只要維度不變，那麼表示方法就一定是唯一的。這就是為什麼係數矩陣的秩等於n時，方程組只有唯一解的原因。

最後一種情況，係數矩陣的秩小於n，則有無數解。可能有人會問剛剛不是說低維空間找不到向量表示高維空間的向量嗎，那為什麼係數矩陣小於n還會有解呢，而且還有無數個解？

答案就是這裡在單位矩陣空間下描述的那個“高維向量”b其實根本就不是一個真正的高維向量，而是一個和係數矩陣空間維度相等的向量。不信你把增廣矩陣化成行階梯的形式看看，b向量裡面肯定會出現至少一個0，這時候它就原形畢露了。

至於為什麼解的數量是無數個。舉個例子，很多個三維向量（1，1，0）、（1，1，1）、（1，1，2）……他們在xoy平面內的投影其實都是向量（1，1）。這些向量合起來可以直接用一個更低維的向量表示。這裡的解有無數個，其實是因為這無數個解最終都只能合成完全相同的某一個低維向量。本質上還是隻有一個低維的解向量。

總結一下矩陣和矩陣的秩是有兩種理解方式的：

1、矩陣描述的是跨越維度的線性變換，最終會將向量變換到哪個維度就取決於矩陣的秩。

2、矩陣本質上描述的是一個空間，而這個空間的維度就是矩陣的秩。

不相等。A dot B = B dot A=ABcosα，其中α是兩向量的夾角，A在B的投影是Acosα，B在A的投影是Bcosα，只要A，B不等那就不相等。