因為兩點間點的軌跡是沿球面的弧線.具體分析如下(教學課件截選): 《球面距離》的教學設計 □ 陳滿芝 六、 教學過程的設計 1．問題情境，引入課題 1993年4月7日，中國東方航空公司的航班噴氣客機從上海飛往美國洛杉磯，因受到強氣流的影響，被迫在美國阿拉斯加阿留申群島的某空軍基地緊急降落。經過緊急處理，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫院中之外，其餘173名旅客已於4月9日到達洛杉磯。（多媒體演示飛機從上海起飛，在阿留申群島停留並繼續飛往洛杉磯的過程，並留下飛機的飛行路線） 2．新課教學 學生提問：飛機為什麼不沿直線飛行？ 師：讓學生在地球儀上找找這三個城市的位置。 （上海和洛杉磯都在北緯30o稍偏北的位置，上海的經度在東經120o梢偏東，洛杉磯的經度為西經120o稍偏西。） 師：從世界地圖上看似乎沿北緯30o的圓距離最近，可為什麼從上海飛往美國洛杉磯的飛機會迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠道嗎？ 生：飛機是在繞遠道。 生：飛機沒有繞遠道，因為這樣的話很浪費燃料。 生：是受氣流的影響。 師：選擇航線的標準是什麼？ 生：行程儘可能短。 師：怎樣航線距離最短或儘可能短，這個問題實際上轉化成在地球上兩點間的最短距離的問題。 師：複習七種距離：兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，異面直線間的距離，平行線間的距離，平行於平面的直線與平面間的距離，平行平面間的距離。 師：這七種距離的共同特點是什麼？ 生歸納總結都是一條線段的長，具有最小性、唯一性。 師：那麼球面上兩點間的距離是否與前面的距離相同呢？ 3．動手試驗，探求未知 學生藉助幾何畫板進行試驗：作出以線段AB為公共弦的若干個圓，並用畫板中的度量功能，分別得到這幾個圓中弦AB所對的劣弧的長。 學生猜想：以線段AB為公共弦的若干個圓中，半徑較大的圓，弦所對的劣弧長較小。 由於這個命題的證明不是本節課的重點，於是讓有興趣的同學在課外去完成。 到此，球面距離的概念已呼之欲出，讓同學們用數學語言陳述球面距離的定義。 4．球面距離的定義： 在球面上兩點之間的最短距離是經過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧（或不超過半圓弧）的長度，這條弧長叫做兩點間的球面距離。 5．例題分類，尋求解法 ① 經度相同緯度不同的兩地的球面距離 例1． 請估算北京與香港之間的球面距離 結論：緯度差的絕對值乘以地球的半徑。 ② 緯度相同經度不同的兩地間的球面距離 例2．求上海到洛杉磯的距離。 例3．已知A地位於東經40o，北緯45o，地位於東經130o，北緯45o，求A，B兩地之間的球面距離 解：如圖所示，A、B都在北緯450圈上，所以∠AOO1=∠BOO1=450， AO1=BO1=Rsin450= ，又因為A、B的經度分別是東經400、1300，所以經度相差900，即∠AO1B=900，所以AB=R，球心角∠AOB= 弧度，所以A、B兩地的球面距離為 例4．已知地球上的兩地的位置分別是南緯45°和東經135°、北緯45°和西經135°，地球的半徑為R，求這兩地的球面距離． 解：東經135°與西經135°的經度差是90°，對應的兩個半大圓成直二面角． 設兩地分別為A，B，球心為O，OA=OB． OA，OB與軸線均成45°角，在赤道兩側． ∠AOB=120o(過程略)，弧長是 ∴兩地的球面距離是 例5．某國際航空公司計劃開通由杭州（東經120o，北緯30o）至列寧格勒（東經30o，北緯60o）的空中航線，請計算這兩座城市之間的航程（地球視為半徑為R=6370千米的球體，飛機飛行的高度忽略不計， ） 解：如圖所示，A、B分別表示杭州（東經1200、北緯300）、列寧格勒（東經300、北緯600）， 則∠AOO1=600，AO1= ，OO1= ， ∠BOO2=300，BO2= ，OO2= 又因為A、B的經度相差900，O1O2= – ， 所以點AO1、BO2是互相垂直的異面直線，由異面直線上兩點的距離公式得：AB2= AO12+ BO22+ O1O22=（2- ）R2，由余弦定理：cos∠AOB= ，根據條件cos1.137= ，因此A、B所對應的球心角∠AOB =1.137弧度，所以A、B兩地的球面距離為1.137*6370=7243（千米）。 答：這兩座城市之間的航程約為7243千米。 小結：計算球面距離的關鍵是先求出過此兩點的大圓的劣弧所對的圓心角（球心角），根據弧長即可求出劣弧長，亦即這兩點的球面距離。 5．能力檢測 練習1.球的直徑是20cm，球面上有A，B兩點，它們之間的直線距離是10cm，則球面上A，B兩點之間的距離的（ ） A.10cmB.10л D.6．課題小結，交流體驗 由同學們小結，可從體驗，方法和球面距離的具體求法進行小結。
因為兩點間點的軌跡是沿球面的弧線.具體分析如下(教學課件截選): 《球面距離》的教學設計 □ 陳滿芝 六、 教學過程的設計 1．問題情境，引入課題 1993年4月7日，中國東方航空公司的航班噴氣客機從上海飛往美國洛杉磯，因受到強氣流的影響，被迫在美國阿拉斯加阿留申群島的某空軍基地緊急降落。經過緊急處理，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫院中之外，其餘173名旅客已於4月9日到達洛杉磯。（多媒體演示飛機從上海起飛，在阿留申群島停留並繼續飛往洛杉磯的過程，並留下飛機的飛行路線） 2．新課教學 學生提問：飛機為什麼不沿直線飛行？ 師：讓學生在地球儀上找找這三個城市的位置。 （上海和洛杉磯都在北緯30o稍偏北的位置，上海的經度在東經120o梢偏東，洛杉磯的經度為西經120o稍偏西。） 師：從世界地圖上看似乎沿北緯30o的圓距離最近，可為什麼從上海飛往美國洛杉磯的飛機會迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠道嗎？ 生：飛機是在繞遠道。 生：飛機沒有繞遠道，因為這樣的話很浪費燃料。 生：是受氣流的影響。 師：選擇航線的標準是什麼？ 生：行程儘可能短。 師：怎樣航線距離最短或儘可能短，這個問題實際上轉化成在地球上兩點間的最短距離的問題。 師：複習七種距離：兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，異面直線間的距離，平行線間的距離，平行於平面的直線與平面間的距離，平行平面間的距離。 師：這七種距離的共同特點是什麼？ 生歸納總結都是一條線段的長，具有最小性、唯一性。 師：那麼球面上兩點間的距離是否與前面的距離相同呢？ 3．動手試驗，探求未知 學生藉助幾何畫板進行試驗：作出以線段AB為公共弦的若干個圓，並用畫板中的度量功能，分別得到這幾個圓中弦AB所對的劣弧的長。 學生猜想：以線段AB為公共弦的若干個圓中，半徑較大的圓，弦所對的劣弧長較小。 由於這個命題的證明不是本節課的重點，於是讓有興趣的同學在課外去完成。 到此，球面距離的概念已呼之欲出，讓同學們用數學語言陳述球面距離的定義。 4．球面距離的定義： 在球面上兩點之間的最短距離是經過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧（或不超過半圓弧）的長度，這條弧長叫做兩點間的球面距離。 5．例題分類，尋求解法 ① 經度相同緯度不同的兩地的球面距離 例1． 請估算北京與香港之間的球面距離 結論：緯度差的絕對值乘以地球的半徑。 ② 緯度相同經度不同的兩地間的球面距離 例2．求上海到洛杉磯的距離。 例3．已知A地位於東經40o，北緯45o，地位於東經130o，北緯45o，求A，B兩地之間的球面距離 解：如圖所示，A、B都在北緯450圈上，所以∠AOO1=∠BOO1=450， AO1=BO1=Rsin450= ，又因為A、B的經度分別是東經400、1300，所以經度相差900，即∠AO1B=900，所以AB=R，球心角∠AOB= 弧度，所以A、B兩地的球面距離為 例4．已知地球上的兩地的位置分別是南緯45°和東經135°、北緯45°和西經135°，地球的半徑為R，求這兩地的球面距離． 解：東經135°與西經135°的經度差是90°，對應的兩個半大圓成直二面角． 設兩地分別為A，B，球心為O，OA=OB． OA，OB與軸線均成45°角，在赤道兩側． ∠AOB=120o(過程略)，弧長是 ∴兩地的球面距離是 例5．某國際航空公司計劃開通由杭州（東經120o，北緯30o）至列寧格勒（東經30o，北緯60o）的空中航線，請計算這兩座城市之間的航程（地球視為半徑為R=6370千米的球體，飛機飛行的高度忽略不計， ） 解：如圖所示，A、B分別表示杭州（東經1200、北緯300）、列寧格勒（東經300、北緯600）， 則∠AOO1=600，AO1= ，OO1= ， ∠BOO2=300，BO2= ，OO2= 又因為A、B的經度相差900，O1O2= – ， 所以點AO1、BO2是互相垂直的異面直線，由異面直線上兩點的距離公式得：AB2= AO12+ BO22+ O1O22=（2- ）R2，由余弦定理：cos∠AOB= ，根據條件cos1.137= ，因此A、B所對應的球心角∠AOB =1.137弧度，所以A、B兩地的球面距離為1.137*6370=7243（千米）。 答：這兩座城市之間的航程約為7243千米。 小結：計算球面距離的關鍵是先求出過此兩點的大圓的劣弧所對的圓心角（球心角），根據弧長即可求出劣弧長，亦即這兩點的球面距離。 5．能力檢測 練習1.球的直徑是20cm，球面上有A，B兩點，它們之間的直線距離是10cm，則球面上A，B兩點之間的距離的（ ） A.10cmB.10л D.6．課題小結，交流體驗 由同學們小結，可從體驗，方法和球面距離的具體求法進行小結。