球面座標系

定義. 設 是 中一點，在球面座標系中 的三個座標變數是 ，其定義為[1]

徑向距離是從原點到點P的歐幾里得距離。

傾角(或極角) θ是天頂方向和線段OP之間的夾角。

方位(或方位角) φ是從方位參考方向到參照平面上線段OP的正交投影的有符號角度。

見右圖1。

圖1

與極座標類似，球面座標系相同的同一點 ，具有無限多個等效座標,，你可以在不改變角度的情況下, 增加或減去任意數量倍的 ，從而不改變角點。在許多情況下，允許負徑向距離也很方便,，該慣例是(r,θ,φ)等效於(r,θ+ 180 °,φ)為任意r，θ和φ。此外，(r,θ,φ)等效於(r,θ,φ+ 180 °)。

如果需要為每個點定義一組唯一的球面座標, 則必須限制它們的範圍。一個共同的選擇是：

球面座標變換

球面座標系是三大常用的座標系之一，其它二個常用的座標系是標準的歐氏座標系、柱面座標系。球面座標變換公式描述了空間中一點P在歐氏座標系下的座標 與球面座標系下的座標 之間的變換關係。該變換關係如下述公式給出[1]：

或者，將表達成的形式：

體積元

在許多應用中，球面座標系具有其它座標系不具有的優點。瞭解在球面座標系的面積元，體積元是對我們有幫助的。

長度元：

其中

面積元：

體積元：

梯度、散度、旋度以及Laplace運算元在球面座標系下的由下述公式給出[2]：