如果你知道圓的標準引數方程，那麼橢圓的標準引數方程也就順理成章了。我們回顧：

對單位圓： ，其標準引數方程為：

則對橢圓：

用變數替換（rescaling）： 可將其化作圓:

所以，我們有 ， 即得到橢圓的（標準）引數化：

你可能會問：那圓的標準引數方程 （1）又是如何來的呢？最直接的回答是：透過三角函式的定義：將圓周上的週期運動分解為 方向上的兩個獨立運動，即 和 ， 看作是時間引數。然後根據圓的定義知：

當然，對於單位圓，我們可以用如下代數方法獲得其引數方程。

對一曲線，為寫出其引數方程，我們需要將變數 寫出另一獨立變數的函式。幾何上，這意味著： 我們需要將給定曲線與只依賴於一個引數的一曲線族相交。當然最簡單的曲線族是一直線族，其引數是斜率 。

簡單起見，我們將單位圓與過原點的旋轉曲線族 相交，得到：

上面的（3）即為圓的一種代數引數化，它與之前用三角函式的引數是等價的，即將 解釋為 ，則有

注意到，上面的代數引數化有一曲線，即直線與圓交於兩點，反應於平方根的正負兩值，為消解這種歧義，我們選擇更好的直線族用來引數化單位圓。比如，我們選擇透過圓上某一定點的旋轉直線族。

我們選擇透過圓上定點 的直線族： ，其與單位圓只交於除 外的一點。

將引數方程（4）用三角函式來解釋（見上圖）： ，由此（4）可寫作：

此即著名的“萬能變換”，它的本質是單位圓的有理引數化（因為能夠寫成引數 的有理函式）。

當然，可以選擇其它的定點，得到不同的有理引數化。可用有理引數化來求解下面丟番圖方程的所有有理解，即下面方程所定義的代數曲線上的有理點。