線性變換的意義：把線性對映寫成具體而簡明的2維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性對映的加法規則和複合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。當空間的基變化（座標系變換）時，線性對映的矩陣也會有規律地變化。在特定的基上研究線性對映，就轉化為對矩陣的研究。利用矩陣的乘法，可以把一些線性系統的方程表達得更緊湊（比如把線性方程組用矩陣表達和研究），也使幾何意義更明顯。矩陣可以分塊計算，可以透過適當的變換以“解耦”（把複雜的變換分解為一些簡單變換的組合）。要求出一個線性變換的秩，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。遇到這樣的加上了1個常量的非線性對映可以透過增加1個維度的方法，把變換對映寫成2×2維的方形矩陣形式，從而在形式上把這一類特殊的非線性對映轉化為線性對映。這個辦法也適用於處理在高維線性變換上多加了一個常向量的情形。這在計算機圖形學和剛體理論（及其相關機械製造和機器人學）中都有大量應用。兩個向量空間（包括由函式構成的抽象的向量空間）之間的一種保持向量加法和標量乘法的特殊對映。線性對映從抽象代數角度看是向量空間的同態，從範疇論角度看是在給定的域上的向量空間所構成的範疇中的態射。“線性運算元”也是與“線性對映”有關的概念。但是不同數學書籍上對“線性運算元”的定義存在區別。在泛函分析中，“線性運算元”一般被當做“線性對映”的同義詞。而有的書則將“線性運算元”定義為“線性對映”的自同態子類（詳見下文）。為敘述方便，本條目在提及“線性運算元”時，採用後一種定義，即將線性運算元與線性對映區別開來。